Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn Toán

sieuvip 92
sieuvip 92(153 tài liệu)
(11 người theo dõi)
Lượt xem 859
555
Tải xuống
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 382 | Loại file: PDF
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 26/01/2014, 16:29

Mô tả: cách giải hệ phương trình toán học TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn văn huy 26-7-2012 Mục lụcLời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Các thành viên tham gia chuyên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ 10Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Phương trình dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Xây dựng phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Một số phương trình bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 32Phương pháp sử dụng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Phương pháp dùng điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Phương pháp ứng dụng hình học giải tích và hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . 55Hình học không gian và việc khảo sát hệ phương trình ba ẩn . . . . . . . . . . . . . 76Một số bài phương trình, hệ phương trình có tham số trong các kì thi Olympic . . . 813 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 93Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Phương pháp sử dụng hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Phương pháp dùng lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Một số bài toán chọn lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154344 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177Các loại hệ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Hệ phương trình hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Tổng hợp các bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Hệ phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Hệ phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2776 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình . . . . 297Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao . . . . 307Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu thức . . . . . . . . . . . . . 312Xây dựng phương trình từ các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . . 324Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác. . . . . . . . 328Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình. . . . . . . 331Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 338Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương trình. . . . . 345Sáng tác hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3537 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3628 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366Lịch sử phát triển của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Có mấy cách giải phương trình bậc hai? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Cuộc thách đố chấn động thế giới toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368Những vinh quang sau khi đã qua đời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3725Tỉểu sử một số nhà toán học nổi tiếng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Một cuộc đời trên bia mộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Chỉ vì lề sách quá hẹp! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Hai gương mặt trẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377Sống hay chết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3789 Tài liệu tham khảo 381Lời nói đầuPhương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứngdụng rất lớn trong các ngành khoa học. Sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tínhtoán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toánhọc, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ,phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trìnhsai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . .)Còn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng toán quen thuộc và đượcyêu thích bởi nhiều bạn học sinh. Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tíchvà hình học, những bài toán phương trình - hệ phương trình ngày càng được trau chuốt, trởthành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong các kì thi Học sinh giỏi, thiĐại học.Đã có rất nhiều bài viết về phương trình - hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập mộtcách toàn diện về những phương pháp giải và sáng tạo phương trình. Nhận thấy nhu cầu cómột tài liệu đầy đủ về hình thức và nội dung cho cả hệ chuyên và không chuyên, Diễn đànMathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình màchúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh.Quyển sách này gồm 6 chương, với các nội dung như sau: Chương I: Đại cương về phương hữu tỉ cung cấp một số cách giải tổng quát phươngtrình bậc ba và bốn, ngoài ra còn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựngphương trình hữu tỉ. Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương phápgiải và biện luận bài toán có tham số ,cũng như một số bài toán thường gặp trong các kì thiHọc sinh giỏi. Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp những phươngpháp quen thuộc như bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, với nhiều bài toánmở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan về phương trình.Chương này không đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có trong chuyên đềLượng giác của Diễn đàn. Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra một số dạng bài tập ứng dụng của hàmsố logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng như đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơnđiệu,  Chương V: Hệ phương trình là phần trọng tâm của chuyên đề. Nội dung của chương7bao gồm một số phương pháp giải hệ phương trình và tổng hợp các bài hệ phương trình haytrong những kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như quốc tế. Chương VI: Sáng tạo phương trình - hệ phương trình đưa ra những cách xây dựng một bàihay và khó từ những phương trình đơn giản bằng các công cụ mới như số phức, hàm hyperbolic,hàm đơn điệu, Ngoài ra còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phươngtrình trong giải toán và về lịch sử phát triển của phương trình.Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây dựngchuyên đề. Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn,anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp nhữngý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm tra cácbài viết để có một tuyển tập hoàn chỉnh.Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiều điềubổ ích và tình yêu toán học thông qua quyển sách này. Chúng tôi xin đón nhận và hoan nghênhmọi ý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin vui lòngchuyển đến anhhuy0706@gmail.comThành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012Thay mặt nhóm biên soạnNguyễn Anh HuyCác thành viên tham gia chuyên đềĐể hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên củadiễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề:• Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)• Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM),Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM)• Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền –TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)• Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A– Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên - Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu(THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên TrầnĐại Nghĩa - TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai), Ong ThếPhương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)• Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phước), thầyNguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPTNguyễn Huệ - Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn ThếHoà (10A7 THPT Long Khánh - Đồng Nai)• Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa -TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn ThếHòa (THPT Long Khánh - Đồng Nai)• Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu-TP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình(11A5 THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi),• Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong- TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long(10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội)• Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TPHCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)• Các loại hệ cơ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)9• Hệ phương trình hoán vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình),Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng(10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội)• Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - HàNội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM)• Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy,Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM)• Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê HồngPhong TP HCM)• Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng PhongTP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), TrầnMinh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPTNguyễn Thị Minh Khai – TP HCM)• Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai),thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CTTHPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)• Giải toán bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu-TP HCM)• Lịch sử phát triển của phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu-TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai)Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNHHỮU TỈPHƯƠNG TRÌNH BẬC BAMột số phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử:Nếu phương trình bậc ba ax3+ bx2+ cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x −r) do đócó thể phân tíchax3+ bx2+ cx + d = (x −r)[ax2+ (b + ar)x + c + br + ar2]Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là−b −ra ±√b2− 4ac −2abr − 3a2r22a Phương pháp Cardano:Xét phương trình bậc ba x3+ ax2+ bx + c = 0 (1).Bằng cách đặt x = y −a3, phương trình (1) luôn biến đổi được về dạng chính tắc:y3+ py + q = 0(2)Trong đó: p = b −a23, q = c +2a3− 9ab27Ta chỉ xét p, q = 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản.Đặt y = u + v thay vào (2), ta được:(u + v)3+ p(u + v) + q = 0 ⇔ u3+ v3+ (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3)Chọn u, v sao cho 3uv + p = 0 (4).Như vậy, để tìm u và v, từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:u3+ v3= −qu3v3= −p327Theo định lí Viete, u3và v3là hai nghiệm của phương trình:X2+ qX −p327= 0(5)Đặt ∆ =q24+p3271011 Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm:u3= −q2+√∆, v3= −q2−√∆Như vậy, phương trình (2) sẽ có nghiệm thực duy nhất:y =3−q2+√∆ +3−q2−√∆ Khi ∆ = 0, (5) có nghiệm kép: u = v = −3q2Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép.y1= 23−q2, y2= y3=3q2 Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức.Gọi u30là một nghiệm phức của (5), v30là giá trị tương ứng sao cho u0v0= −p3.Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.y1= u0+ v0y2= −12(u0+ v0) + i√32(u0− v0)y3= −12(u0+ v0) −i√32(u0− v0) Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic:Một phương trình bậc ba, nếu có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quanđến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễnkhác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccosCụ thể, từ phương trình t3+ pt + q = 0 (∗) ta đặt t = u cos α và tìm u để có thể đưa (∗) vềdạng4 cos3α −3 cos α −cos 3α = 0Muốn vậy, ta chọn u = 2−p3và chia 2 vế của (∗) chou34để được4 cos3α −3 cos α −3q2p.−3p= 0 ⇔ cos 3α =3q2p.−3pVậy 3 nghiệm thực làti= 2−p3. cos13arccos3q2p.−3p−2iπ3với i = 0, 1, 2.Lưu ý rằng nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì p < 0 (điều ngược lại không đúng) nên côngthức trên không có số phức.Khi phương trình chỉ có 1 nghiệm thực và p = 0 ta cũng có thể biểu diễn nghiệm đó bằng côngthức hàm arcosh và arsinh:t =−2|q|q.−p3cosh13.arcosh−3|q|2p.−3pnếu p < 0 và 4p3+ 27q2> 0. . V: Hệ phương trình là phần trọng tâm của chuyên đề. Nội dung của chương7bao gồm một số phương pháp giải hệ phương trình và tổng hợp các bài hệ phương trình. hình thức (phương trình hữu tỉ, phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm

— Xem thêm —

Xem thêm: Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn Toán, Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn Toán, Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn Toán

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.109772920609 s. Memory usage = 13.92 MB