Tài liệu CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ pdf

tailieuhay_1089
tailieuhay_1089(15082 tài liệu)
(5 người theo dõi)
Lượt xem 300
35
Tải xuống
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 15 | Loại file: PDF
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/02/2014, 10:20

Mô tả: Võ Quốc Bá Cẩn CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz. I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực và ta có naaa , ,,21 nbbb , ,,21))(()(222212222122211 nnnnbbbaaabababa +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .,1,:: njibbaajiji=∀= II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Jack Garfunkel) Cho các số không âm , chứng minh bất đẳng thức cba ,,cbaacccbbbaa++≤+++++45 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⋅++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∑∑∑∑∑cyccyccyccyccyccbabaacbacbabaacbaacbabaacbaabaa)95)(()(5)95)(()95()95)(()95(222 Như thế, ta chỉ cần chứng minh 165)95)(()( ≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++∑cyccbabaacba Như điều này hiển nhiên đúng vì 0)95)(95)(95)()()((161230232835243)3)(9)(()95)(()(165222423232≥+++++++++++++−++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++−∑∑∑∑∑bacacbcbaaccbbacbabcabcacbabababaabcbabaacbacyccyccyccyccyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .0:1:3:: =cba Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số không âm có tổng bằng 1, chứng minh rằng cba ,, 2Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 511222≤+++++ accbba Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ∑∑∑∑∑∑+++++=+++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⋅++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+cyccyccyccyccyccyccbabcbaacbabacbabacbacbabacbaba44)(944944)44(44442222222 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng )(2512144)(92cbacbabcbaacyc++≤+++++∑ Ta có )44)(44)(44(256611163)44)(44)(44(25109207251975300316323224233224bacacbcbaAbcababaabacacbcbabcabaabbaaVTVPcyccyccyccyccyccyccyccyccyc+++++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+=+++++++−++=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑ trong đó 0118982531975121023322≥+++=∑∑∑∑cyccyccyccycbcabaabbaA Ta chứng minh 0661123224≥−−+∑∑∑∑cyccyccyccycbcababaa 061223222224≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⇔∑∑∑∑∑∑cyccyccyccyccyccycbcababcababaa Ta có ∑∑∑−=−cyccyccycbabaa222224)(21 3Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng ∑∑∑∑∑∑∑∑−+−=−+++−−=−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−cyccyccyccyccyccyccyccycbcacabbabacabcabbabcbabcbcacbbcaba)2)(())(()(3)(333222222222323 ∑∑∑−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−cyccyccycbcacabbcaba2222)2(6 Do đó bất đẳng thức tương đương 0)2)((2)2(2)(21222222≥−+−−−++−∑∑∑cyccyccycbcacabbabcacabba 0)422(21222≥+−−−⇔∑cycbcacabba Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức không xảy ra. Bài 3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số không âm chứng minh rằng ,,, cba2222222)(43444 cbabacacbcba ++≤+++++ Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∑∑∑∑cyccyccyccyccbacbacbacbacbacbaacba53)4()(353)4()53(422222222 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 222)(16353)4(cbacbacbacyc++≤+++∑ 04101830653669165452232233445≥−−−+++⇔∑∑∑∑∑∑∑cyccyccyccyccyccyccyccbabababcaabbaa Không mất tính tổng quát, giả sử , bất đẳng thức tương đương với {cbac ,,min=}0)18306691654545(32234455≥+−−+++ Acbabaabbaba 0))(31015)(5(3222≥+−+++⇔ Acbabababa Trong đó 4Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 432234322322234456918306165)165436410536()306410410()18536(69cbccbcbbacbccbbacbcbacbaA++−−+++−+++−−+= Sử dụng giả thiết ta dễ dàng chứng minh được nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {,,,min cbac =}0≥A.0:1:1:: =cbaBài 4. Cho các số dương , chứng minh cba ,,2334334334cbaacccbbbaa ++≥+++++ Giải. Bổ đề. 2222333)(31cbacabcab ++≤++ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 2333332334)()( cbabaabaacyccyc++≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∑∑ Ta phải chứng minh ))(()(23232325552333accbbacbacbacba +++++++≥++ Ta có )()(31)()()())(()())((2222222222222222222222333222222222333222222323232cbaabcaccbbacbacbacabcabcbaabcaccbbacabcabcbacabcabcabcabcbaabccbaabcaccbbacabcabcbacabcabcabcabcbaabccabcabcabcabaccbba++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++++++++≤++−+++++++++=+++++−++++++++++++=+++++−++++=++ Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ))(()(31)())(()(222222222222225552333cbacbaabcaccbbacbacabcabcbacbacba++++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++++++++≥++ 5Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa cho ,1=++cba đặt )10(,312≤≤=−++ qabcrqcabcab thì ta có .27)21()1(27)21()1(22qqrqq −+≥≥+− Bất đẳng thức tương đương 0)5391087(271)1(3))428(54(246222≥+−++−−−+ qqqrqrqr Rõ ràng là hàm đồng biến theo rqrrf )428(54)(22−+=r nên ta có 027))31()242615(()5391087(27127)21()1()1(327)21()1()428(27)21()1(542222246222222≥−++−=+−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+≥qqqqqqqqqqqqqqqqVT Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .cba== Bài 5. (Phan Thành Nam) Cho các số không âm có tổng bằng . Đặt cba ,,1,231 −=k chứng minh rằng 3)()()(222≤−++−++−+ bakcackbcbka Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ()⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−−+++=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+≤⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∑∑∑∑∑∑cyccyccyccyccyccycacbaaacbkaaacbkaacbka31)(232311331)(3131)(31)(222222 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ()331)(23231132≤⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−−+++∑∑cyccycacbaa 6Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Đặt abcrcabcabq =≤++= ,31 thì ta có .302qr ≤≤ Bất đẳng thức tương đương với ()()036329 ≤+−+ qqr Ta có ()()()()03)13(36323363292≤−=+−+≤+−+ qqqqqqqr Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 31=== cba hoặc 0,1===cba và các hoán vị. Bài 6. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++++≤+++++accbbaabccabbca1112111222 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⋅+++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∑∑∑∑∑3)())()(()(2))((1))(())((1))((1222222cyccyccyccyccycbcacbaaccbbacbacababcacabacababcacababca Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 2213)())()((⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++++∑∑cyccyccbbcacbaaccbbacba ))()()(()333(3)(22222cbaaccbbacabcabcbabcacbacyc++++++++++≤+++⇔∑ ))()()((3)(2222224442cbaaccbbaaccbbacbabcacbacyc+++++−−−++≤−++⇔∑ 0))((11))((2≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++−−⇔∑cyccbacbbcacaba Không mất tính tổng quát, giả sử khi đó ta có ,cba ≥≥ .0)( ≥−≥− cbbaca Do đó 7Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 0))()()()(())()(()())((11))((11))(())((11))((22222222≥++++++++−+−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++−−≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++++−−∑cbacbcacabbcabbcacabbacbbabaccbaaccabbcbacbbcaabcbbacbacbbcacabacyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .cba== III. Bài tập tự giải. Bài 1. (Nguyễn Việt Anh) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba3222222223223223cbaacacccbcbbbabaa ++≥+−++−++− Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 223222223))(22(22⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−∑∑∑∑cyccyccyccycabaacbabaababaa Cuối cùng ta chứng minh ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∑∑∑∑cyccyccyccycacbabaaaaba222223))(22(3 Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba2222222)(888 cbabacacbcba ++≤+++++ Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∑∑∑∑∑cyccyccyccyccyccbacbaacbacbacbaacba210051)8(51210051)8()210051(822222222 Ta chỉ cần chứng minh 222)(210051)8(51 cbacbacbacyc++≤+++∑ 8Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Phần 2. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder. I. Tổng quan về bất đẳng thức Holder. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Phan Thành Việt) Cho các số không âm zyx,, có tổng bằng , chứng minh rằng 33111≥++++++++ xyxzzxzyyzyx Giải. Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 63322)(8)32()32)(1(1zyxzyxxzyxyzyxyzyxcyccyccyc++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∑∑∑ Do đó ta chỉ cần chứng minh ∑++++≥++cyczyxyzyxzyx326)32)(1(3)(8 ∑++++++++≥++⇔cyczyxyzzyxyzyxxzyx3227)32)(9)(3)(()(8 Ta có ∑∑∑∑∑∑∑−−−+++++=++−cyccyccyccyccyccyccyczyxzyxyzxzyxyxyxyxyxxyzyxVPVT3223422233244244979324261543926)(4 Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM và Schur, ta có thể dễ dàng chứng minh được ∑∑∑∑∑∑∑++≥+++++cyccyccyccyccyccyccyczyxzyxyzxzyxyxyxyxyxxy3223422233244244979324261543926)(4 Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1===zyx hoặc 0,3===zyx và các hoán vị. Bài 2. (Lê Hữu Điền Khuê) Cho các số dương , chứng minh bất đẳng thức cba ,,1777222222222≥++++++++ acacccbcbbbabaa Giải. 9Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Đặt cazbcyabx === ,, thì ta có 1,0,,=> xyzzyx. Khi đó, bất đẳng thức trở thành 1171171171222≥++++++++ zzyyxx Do nên tồn tại các số dương sao cho 1,0,, => xyzzyxpnm ,,,,,422422422pnmznmpympnx === ta phải chứng minh 174422484≥++∑cycpnpnmmm Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 333344224824422484)()7(7pnmpnpnmmmpnpnmmmcyccyc++≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∑∑ Như thế, ta chỉ cần chứng minh ∑++≥++cycpnpnmmmpnm )7()(4422483333 0)()725(443622533336≥−+−+⇔∑∑symsympnmnmpnmpnmnm Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cba== hoặc các số thỏa cba ,, +∞→+∞→cbba, và các hoán vị. Bài 3. (Phan Thành Việt) Cho các số dương có tổng bằng 3, chứng minh rằng cba ,,23333223223223≥+++++ acccbbbaa Giải. Bổ đề. ∑∑−=−−−≥−++cyccycbabaaccbbacbacba244222222222266644))()((43 Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 323222223))(3(3⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∑∑∑∑cyccyccyccycabacababaa 10Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ∑∑∑++≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+cyccyccyccabaaba32232))(3(49 ∑∑∑++++≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⇔cyccyccyccabacbaaba32232))(3()(34 07861227231292222332433422456≥−−−+−−++⇔∑∑∑∑∑∑∑∑cbacbacbabcababababaacyccyccyccyccyccyccyccyc Sử dụng bổ đề trên, ta chỉ cần chứng minh rằng 07561227289222233243342245≥−−−+−++∑∑∑∑∑∑∑cbacbacbabcababababacyccyccyccyccyccyccyc Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 02334224≥−+∑∑∑cyccyccycbababa 075612277922223324245≥−−−++∑∑∑∑∑cbacbacbabcababacyccyccyccyccyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 1===cba 11 . Bá Cẩn CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz. I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy. Phần 2. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder. I. Tổng quan về bất đẳng thức Holder. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Phan Thành Việt) Cho các số

— Xem thêm —

Xem thêm: Tài liệu CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ pdf, Tài liệu CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ pdf, Tài liệu CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ pdf

Lên đầu trang

Mục lục

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.175318956375 s. Memory usage = 13.9 MB