Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nhPhương trì nh chứa ẩn ở căn thức pot

tailieuhay_4689
tailieuhay_4689(15340 tài liệu)
(2 người theo dõi)
Lượt xem 5
0
Tải xuống 2,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 50 | Loại file: PDF
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 10/03/2014, 17:20

Mô tả: Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai1Phương trì nh chứa ẩn ở căn thứcVí dụ : Giải phương trì nh: 221 x x x 1 x3    Giải: ĐK 0 x 1 .Để giải phương trì nh này thì rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ căn thức. Có những cách nào để loại bỏ căn thức ? Điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vế của phương trì nh đã cho luôn không âm nên bì nh phương hai vế ta thu được phương trì nh tương đương. 222 2 2 22 4 4(1) 1 x x x 1 x 1 x x (x x ) 1 2 x x3 3 9                2 2 2 22(x x ) x x 0 x x 2 x x 3 0         220x x 0x 0;x 13VNx x4    .Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trì nh: x 0;x 1 .Qua lời giải trên ta thấy được 2x x sẽ biểu diến được qua x 1 x  nhờ vào đẳng thức22x 1 x 1 2 x x     (*) .Cụ thể nếu ta đặt t x 1 x   thì 22t 1x x2  và khi đó phương trì nh đã cho trở thành phương trì nh bậc hai với ẩn là t: 22t 11 t t 3t 2 0 t 1;t 23        .Vậy ta có: 20x 1 x 12 x x 0x 0;x 1VN (VT 2)x 1 x 2        .Việc thay thế biểu thức x 1 x  bằng một ẩn mới là t (mà ta gọi là ẩn phụ) là một suy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( chúng ta nhớ lại là chúng ta đang tì m cách làm mất căn thức !). Cách làm như thế này ta thường gặp trong cuộc sống hằng ngày của chúng ta, chẳng hạn khi chúng ta đi xa không tiện cho việc mang theo tiền mặt ta có thể đổi qua đô la, hay thẻ ATM, séc,…Cũng như việc chuyển đổi tiền ở trên, để làm mất căn thức ta tìm cách đặt một biểu thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới saocho phương trì nh ẩn mới có hình thức kết cấu đơn giản hơn phương trì nh ban đầu. Đặt biểu thức chứa căn nào bằng biểu thức ẩn mới như thế nào là vấn đề quan trọng nhất, bước làm này quyết định đến có được lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở. Để chọn được được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ của các biểu thức tham gia trong phương trì nh như ở cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệ đó là đẳng thức (*). Có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai2trong phương trì nh chẳng hạn ở phương trì nh trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mối quan hệ giữa các biểu thức tham gia trong phương trì nh:2 2x 1 x x 1 x 1      (**) mà từ phương trì nh ta rút được một căn thức qua căn thức còn lại:3 1 x 3x2 1 x 3  . Do đó nếu đặt 3t 3t 1 x x2t 3    thay vào (**) và biến đổi ta thu được phương trì nh2t(t 1)(2t 4t 3) 0 t 0,t 1       hay x 0,x 1  là nghiệm của phương trì nh.Phương trì nh đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai căn thức, đồng thời hai căn thức thỏa mãn (**) do vậy ta có thể đặt a x,b 1 x   thì từ phương trì nh đã cho kết hợp với (**) ta có hệ phương trì nh: 2 221 ab a b3a b 1    đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta được nghiệm của phương trì nh là x=0 và x=1. Bản chất cách giải này chính là cách đặt ẩn phụ t 1 x  mà ta đã giải ở trên .Tiếp tục nhận xét thì đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức nào mà ta biết ?Chắc hẳn các bạn sẽ dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác:2 2sin cos 1   .Điều này dẫn đến cách giải sau:Đặt 2x sin t, t [0; ]2  (Điều này hoàn toàn hợp lí vì x [0;1] ). Khi đó phương trì nh đã cho trở thành: 21 sint.cost sin t cost 3(1 sin t) (1 sin t)(1 sin t)(2sin t 3) 03         2x 1sin t 1 x 1x 1x 03 1 sin t (3 2sint) 1 sin tsin t(4sin t 6sin t 8) 0         .Qua ví dụ trên ta thấy có nhiều cách để giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ. Mọi phương pháp đều chung một tưởng đó là tì m cách loại bỏ căn thức và đưa phương trì nh đã cho về phương trì nh mà ta đã biết cách giải. Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng phương pháp giải cụ thể.Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai3I. Phương pháp biến đổi tương đương :Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biến đổi tương đương của phương trì nh, bất phương trì nh biến đổi phương trì nh, bất phương trì nh ban đầu về phương trì nh, bất phương trì nh đã biết cách giải.Ta nhơ lại các tính chất của lũy thừa và phép biến đổi tương đổi đối với phương trì nh và bất phương trì nh.1)nn( a) a ( Nếu n chẵn thì cần thêm điều kiện a 0). 2) 2n 2na b a b   với a và b cùng dấu3) 2n 1 2n 1a b a b    với mọi a,b.4) 2n 2na b 0 a b    (Chú ý nếu a,b<0 thì a b a b     khi đó hai vế cùng không âm và lúc đó ta mới lũy thừa bậc chẵn hai vế).5) 2n 1 2n 1a b a b a,b     .Ví dụ 1: Giải phương trì nh: 2x 1 3x 1  .Giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương trì nh vô nghiệm nên ta chỉ cần giải phương trì nh khi 13x 1 0 x3    . Khi đó hai vế đều không âm và bì nh phương ta thu được phương trì nh tương đương: 22x 1 (3x 1)   nếu 01x3  là nghiệm của phương trì nh này thì 20 0 02x 1 (3x 1) 2x 1 0      do vậy ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn. Vậy :2211x3x 1 0x433Pt x 0, x492x 1 (3x 1)x 0, x9x 4x 09                    .Nhận xét: * Phương trì nh trên có dạng tổng quát:f (x) g(x) , khi gặp dạng này ta biến đổi tương đương như sau: 2g(x) 0f (x) g(x)f (x) g (x) . Ở đây vì sao ta không cần đặt đk f (x) 0?.* Ở bài toán trên ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ t 2x 1 .Ví dụ 2: Giải phương trì nh: 4 1 1 2    x x x.Giải: Đk: 142x   (*)Pt x 4 1 2x 1 x x 4 1 2x 2 (1 2x)(1 x) 1 x              Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai42212x 1 0x22x 1 (1 2x)(1 x) x 0(2x 1) (1 2x)(1 x)2x 7x 0                Đối chiếu điều kiện (*) ta thấy x=0 thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt đã cho là x=0.Chú ý : Ở phương trì nh trên vì sao chúng ta lại chuyển 1x qua rồi mới bình phương? Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trì nh luôn cùng dấu để sau khi bì nh phương ta thu được phương trì nh tương đương.Ví dụ 3: Giải bất phương trì nh:22x 6x 1 x 2 0    .Giải:Bất phương trì nh 22x 6x 1 x 2     (1)Vì VT của (1) luôn không âm nên nếu VP(1) 0 thì Bất phương trì nh vô nghiệm, do đó ta chỉ giải Bất phương trì nh khi x 2 0 x 2   . Bì nh phương hai vế ta được Bpt:2 22x 6x 1 (x 2)    . Nếu 0x bất phương trì nh này thì ta chưa thể khẳng định được 20 02x 6x 1 0   do đó ta phải đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn. Vậy bất phương trì nh đã cho tương đương với hệ gồm ba bất phương trì nh sau:22 22x 2 x 2x 2 03 7 3 7 3 7 3 72x 6x 1 0 x V x x V x2 2 2 22x 6x 1 (x 2)1 x 3x 2x 3 0                             3 7x 32   là nghiệm của bất phương trì nh đã cho.Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trì nh trên là: 2g(x) 0f (x) g(x) f (x) 0f (x) g (x)  Giải hệ bất phương trì nh này ta được nghiệm của bất phương trì nh đã cho.Ví dụ 4: Giải bất phương trì nh : 22(x 16)7 xx 3x 3 x 3    (ĐH Khối A – 2004 ).Giải: ĐK: x 4.Bpt 2 22(x 16) x 3 7 x 2(x 16) 10 2x          (2)Ta có VT (2) 0 nên nếu VP(2)0 x 5   thì (2) luôn đúng. Nếu VP(2)0 x 5  thì bpt (2) 2 22(x 16) (10 2x)    . Nếu 0x bất phương trì nh này thì ta có Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai5202(x 16) 0  do đó ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu cănVậy để giải bất phương trì nh (2) ta chia làm hai trường hợpTH1:x 4 ( k)x 5.10 2x 0  ñTH2:2 2 210 2x 0 4 x 510 34 x 52(x 16) (10 2x) x 20x 66 0                 .Lấy hợp hai trường hợp ta có nghiệm bất phương trì nh là: x 10 34  .Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trì nh (2) là: f (x) g(x) . Để giải bpt này ta chia làm hai trường hợp: TH 1: f (x) 0g(x) 0TH 2: 2g(x) 0f (x) g (x)Ví dụ 5: Giải phương trì nh: 22x 6x 1 x 1   .Giải: 2 2 2 2x 1 0 x 1Pt2x 6x 1 (x 1) 6x 1 x 1                2 2 2 4 2x 1 x 1x 0,x 26x 1 (x 1) x 4x 0                .Ví dụ 6: Giải phương trì nh: 2x(x 1) x(x 2) 2 x    .Giải: ĐK: x 1x 2x 0  (*) .Phương trì nh 2 2 22x x 2 x (x 1)(x 2) 4x     2 2 2 2 2 22 x (x x 2) x(2x 1) 4x (x x 2) x (2x 1)          (do đk (*) ).20(8 9) 098   xx xx cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*).Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là: 90;4x x .Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai6Chú ý : 1) Bài toán trên cò n có cách giải khác như sau* x 0 là một nghiệm của phương trì nh.* x 12PT x 1 x 2 2 x 2 x x 2 2x 1          2 294x 4x 8 4x 4x 1 x8        (nhận).* x 2 PT x(1 x) x( x 2) 2 ( x)( x)            291 x x 2 2 x 2 x x 2 2x 1 x8               (loại).Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là: 90;4x x .2) Khi biến đổi như trên chúng ta sai lầm khi cho rằnga.b a. b ! Nên nhớ đẳng thức này chỉ đúng khi a,b 0 ! Nếu a,b 0 thì ab a. b  .Ví dụ 7: Giải phương trì nh: 3 33x 1 x 2 2x 3    .Giải:Phương trì nh 3 332x 3 3 (x 1)(x 2)( x 1 x 2) 2x 3        3 333x 1 x 2 2x 3(x 1)(x 2)(2x 3) 0        (*)3x 1;x 2;x .2   Chú ý :* Khi giải phương trì nh trên chúng ta thường biến đổi như sau3 332x 3 3 (x 1)(x 2)( x 1 x 2) 2x 3        3(x 1)(x 2)(2x 3) 0    !?Phép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương! Vì ở đây chúng ta đã thừa nhận phương trì nh ban đầu có nghiệm !. Do đó để có được phép biến đổi tương đương thì ta phải đưa về hệ như trên. Chẳng hạn ta xét phương trì nh sau323 3 3 31 x 1 x 1 2 3 1 x ( 1 x 1 x ) 1            321 x 1 x 0    . Nhưng thay vào phương trì nh ban đầu ta thấy x=0 không thỏa mãn phương trì nh !* Với dạng tổng quát 3 3 3a b c  ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức 3 3 3(a b) a b 3ab(a b)     ta có phương trì nh tương đương với hệ3 3 33a b ca b 3 a.b.c c   . Giải hệ này ta có được nghiệm của phương trì nh.Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai7Ví dụ 8: Giải phương trì nh: 4 3 10 3x x 2    (HSG QG 2000).Giải:Phương trì nh 2 2x 2 x 24 3 10 3x x 4x 4 4x x 3 10 3x               4 3 2 3 22 x 4 2 x 4x 8x 16x 27x 90 0 (x 3)(x 5x x 30) 0                   22 x 4x 3(x 3)(x 2)(x 7x 15) 0       .Ví dụ 9: Giải phương trì nh: 2 24x y y 2 4x y    . Giải:Phương trì nh 2 24x y 4x y y 2     2 2 24x y 4x 4y 2 2 (y 2)(4x y)       2 2 21x(2x 1) (y 2) 2 (y 2)(4x y) 02y 2         .Thử lại ta thấy cặp (x;y) này thảo mãn phương trì nh.Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là: 1x2y 2 .Ví dụ 9: Giải phương trì nh: 1) 2x x 7 7  . 2) x 34x 1 3x 25    .Giải:1) Phương trì nh 2x (x 7) (x x 7) 0 (x x 7)(x x 7 1) 0            x 7 x (1)x 7 x 1 (2)    * 2x 01 29(1) x2x x 7 0    .* 2x 1(2) x 2x x 6 0     .Vậy phương trì nh đã cho có hai nghiệm 1 29x 2;x2 .Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai82) Phương trì nh 5( 4x 1 3x 2) (4x 1) (3x 2)       5( 4x 1 3x 2) ( 4x 1 3x 2)( 4x 1 3x 2)          4x 1 3x 2 0x 24x 1 3x 2 5        .Nhận xét: *Với bài 1 ta có thể giải như sau: Đặt y x 7  ta có hệ phương trì nh22y x 7x y 7   trừ vế theo vế hai phương trì nh ta được:(y x)(y x 1)  . Từ đây giải ra ta tì m được x.* Câu 1 có dạng tổng quát như sau: 2x x a a  .* Với bài toán 2 ta còn có cách giải khác như sauPhương trì nh x 2( 4x 1 3) ( 3x 2 2)5      x 24(x 2) 3(x 2) x 23x 2 4x 1 1 1 (*)54x 1 3 3x 2 25( 4x+1 3)( 3x 2 2)             Vì VT(*) 0 (do 2x3) nên (*) vô nghiệm.Ví dụ 10: Giải bất phương trì nh : 1) 22xx 4(1 1 x)   2) 2 2(x 3x) 2x 3x 2 0   .Giải:1) ĐK: x 1 * Với x 0 ta thấy Bpt luôn đúng* Với x 0 1 x 1 0    . Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được2 222 2x (1 x 1)x 4 (1 x 1) x 4 x 1 3 x 8(1 x 1) (1 x 1)               Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T [ 1;8) .2) Ta xét hai trường hợpTH 1: 212x 3x 2 0 x 2,x2      . Khi đó BPT luôn đúngChuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai9TH 2: 2212x 3 2 0x V x 21Bpt x V x 322x 3x 0x 0 V x 3             .Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: 1T ( ; ] {2} [3; )2     .Chú ý : * Ở bài toán 2 ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng ta thường gặp trong giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ.* Khi giải bất phương trì nh nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế cảu bất phương trì nh cho một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó. Nếu chưa xác định được dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia làm hai trường hợp.Ví dụ 11: Giải bất phương trì nh :1) 2 2(x 3) x 4 x 9    2)251 2x x11 x .Giải:1) * Với x 3 bất phương trì nh đúng.* Với  222x 3x 3x 3 Bpt x 3x 4 x 3x 4 x 3              .* Với 2x 3x 35x 3 Bpt x3 x 36x 4 x 36x 5 0            .Vậy nghiệm của bất phương trì nh dã cho là: 5x V x 36  .2) * Nếu 222x 1x 11 x 0 x 1 Bpt 51 2x x 0 1 52 x 1 52x 2551 2x x 1 x                  1 52 x 5    .*Nếu x 1  luôn đúng vì VT 0 1 .Vậy nghiệm bất phương trì nh đã cho là : 1 52 x 5 V x 1    .Ví dụ 12: Tì m m để phương trì nh 2x 2mx 1 m 2    có nghiệm.Giải:* Nếu m 2 phương trì nh vô nghiệmChuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai10* Với m 2  Phương trì nh 2 2 2 2x 2mx 1 m 4m 4 x 2mx m 4m 3 0           Phương trì nh có nghiệm 2' 2m 4m 3 0     đúng mọi mVậy m 2 là những giá trị cần tìm.Ví dụ 13: Tì m m để phương trì nh: 22x mx 3 x 1    có hai nghiệm phân biệt.Giải:Phương trì nh 2x 1x (m 2)x 4 0 (*)    . Phương trì nh (*) luôn có hai nghiệm :212 m m 4m 8x 02    ;222 m m 4m 8x 02    Phương trì nh đã cho có hai nghiệm (*)có hai nghiệm phân biệt 1 222 2m 4x 1 4 m m 4m 8 m 2(4 m) m 4m 8             .Vậy m 2 là những giá trị cần tìm.Ví dụ 14: Tì m m để phương trì nh 2 22x mx x 4 0    có nghiệm.Giải:Phương trì nh 22 22x 4 0 (1)2x mx x 4x mx 4 0 (2)       (2) có nghiệm 2m 160 0 | m | 4       (*) . Khi đó (2) có hai nghiệm là:21,2m m 16x2  . Nghiệm 1x thỏa mãn (1) 2 2 2 2(m m 16) 16 0 m m m 16 16 0         2 22m 4m 4m 16( m 16 m) 0m 4m 16 m          .Nghiệm x2 thỏa mãn (1) 2 2 2 2(m m 16) 16 0 m m m 16 16 0         2 22m 4m 4m 16( m 16 m) 0m 4m 16 m         .Vậy | m | 4 thì phương trì nh đã cho có nghiệm. . Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai1 Phương trì nh chứa ẩn ở căn thức Ví. Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai2trong phương trì nh chẳng hạn ở phương

— Xem thêm —

Xem thêm: Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nhPhương trì nh chứa ẩn ở căn thức pot, Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nhPhương trì nh chứa ẩn ở căn thức pot, Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nhPhương trì nh chứa ẩn ở căn thức pot

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.408687829971 s. Memory usage = 13.96 MB