ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf

tailieuhay_1189
tailieuhay_1189(15486 tài liệu)
(9 người theo dõi)
Lượt xem 7
0
Tải xuống
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 8 | Loại file: PDF
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/03/2014, 07:20

Mô tả: 1 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho dãy số {xn} xác định như sau: 100, ( 1) , 1.2004nnnxx x n      Tính2lim .nnx Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+ ). Chứng minh rằng hàm số 00()()()xxtf t dtFxf t dt đồng biến trên [0,+ ). Câu 3. Cho 0 . ab Tính tích phân   1010) ( ) (1 ) .) lim ( ) .a I bx a x dxbI   Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 2004( ) ( ) , .( ) ( ) ( ) ( ), , .xi f x e xii f x y f x f y x y     ¡¡ Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện ( ) ( ) 0P a P b với a < b. Đặt ( ) .a x bM max P x Chứng minh rằng 3) ( )( )( ) 2 ( ) ,1) ( ) ( ) .12bbaabaa P x x a x b dx P x dxb P x dx M b a   Hết 2 ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Câu 1. Cho dãy số {xn} xác định như sau: 100, ( 1) , 1.2004nnnxx x n      Tính2lim .nnx Giải. Ta chứng minh công thức 1( 1) (2004) 1.(2004) .2005nnnnx Thật vậy, đặt (),(2004)nnhnx  ta thu được 11 1 1( ) ( 1) ( 1)(2004) 2004 (2004)nnnh n h n   . Suy ra ( ) ( 1) ( 1) (2004)nnh n h n    và  11( ) (0) ( ) ( 1) ( 1) (2004) .nniiiih n h h i h i      Do 0(0) 0xh nên 111 ( 1) (2004) 1( 1) (2004) .(2004) (2004) .2005nnniinnnix   Suy ra 222004lim .2005nnx Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên [0,+ ). Chứng minh rằng hàm số 00()()()xxtf t dtFxf t dt đồng biến trên [0,+ ). Giải. Ta có 0020( ) ( ) ( ) ( )( ) .()xxxxf x f t dt f x tf t dtFxf t dt Vì 2()0()xxfxf t dt 3 và 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0x x xx f t dt tf t dt x t f t dt      với ( ) 0,f t x t nên ( ) 0Fx khi x > 0. Do vậy F(x) là một hàm đồng biến trong 0, . Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân   1010) ( ) (1 ) .) lim ( ) .a I bx a x dxbI   Giải. a) Đặt (1 ) ,bx a x t   ta có  10111(1 )1 1 1.11babatbx a x dx dtbabatb a b a       b) Từ a) suy ra  111111( ) .( 1)baIba Suy ra  1110lim ( ) .bbaabIea Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: 2004( ) ( ) , .( ) ( ) ( ) ( ), , .xi f x e xii f x y f x f y x y     ¡¡ Giải. Đặt 2004( ) ( ).xf x e g x Theo giả thiết (i) thì ( ) 1gx với mọi .x¡ Thế vào điều kiện (ii), ta thu được 200( ) 2004 2004( ) ( ) ( ),x y x ye g x y e g x e g y hay ( ) ( ) ( ), , .g x y g x g y x y   ¡ Với x= y= 0 ta thu được  2(0) (0)(0) 1.(0) 1gggg Suy ra 1 (0) ( ( )) ( ) ( ) 1, .g g x x g x g x x        ¡ Do đó ( ) 1gx và 2004( ) .xf x e Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện ( ) ( ) 0P a P b, với a < b. Đặt ( ) .a x bM max P x Chứng minh rằng 4 3) ( )( )( ) 2 ( ) ,1) ( ) ( ) .12bbaabaa P x x a x b dx P x dxb P x dx M b a   Giải. a) Ta chứng minh ( )( )( ) 2 ( ) (1)bbaaP x x a b x dx P x dx    Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được     ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) .bbaab b ba a aP x x a b x dx P x x a b x dxP x b x x a dx P x b x x a dx P x dx                    b) Từ (1) ta thu được 1( ) ( )( )( ) .2bbaaP x dx P x x a b x dx    Suy ra 1( ) ( ) ( )( ) .2bbaaP x dx P x x a b x dx   Vì a x b nên ( )( ) ( )( )x a b x x a b x     và 3( ) ( )( ) ( ) .2 12bbaaMMP x dx x a b x dx b a     o0o 5 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. Cho dãy số {xn} ( 1,2,3, )n được xác định bởi công thức truy hồi sau: 2112, 5.nnx x x   Tìm giới hạn 2112lim( ) . nnnxx x x Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều kiện ( ) 0.baf x dx  Chứng minh rằng tồn tại ( , )c a bsao cho ( ) 2005 ( ) .caf c f x dx Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho()f x avới mọi .x¡Biết rằng 200 ( )sin .f x xdx a Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,2, phương trình( ) 0fxcó duy nhất nghiệm. Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện  121( ) , 0,1 .2xxf t dt x   Hãy chứng minh  11200( ) ( ) .f x dx xf x dx Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡và thoả mãn điều kiện (0) (1) .f f a Chứng minh rằng   x 0,1max ( ) 8( )f x a b, với   0,1min ( ) .xb f x Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn  ,.¡ Hết 6 ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn: Giải tích Câu1. Cho dãy số {xn} ( 1,2,3, )n được xác định bởi công thức truy hồi sau: 2112, 5.nnx x x   Tìm giới hạn 2112lim( ) . nnnxx x x Giải. Theo giả thiết ta có 2 2 2 4 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2 2 21 1 1 1 24 ( 2) 4 4 ( 4) ( 4) ( 4) 21( ) .n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x xx x x x x x x                Suy ra 2121 2 1 2421 . ( )nnnxx x x x x x Dễ dàng chứng minh được (vi dụ: bằng qui nạp!) 2, 1.kxk   Do vậy 2112lim 21. nnnxx x x Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều kiện ( ) 0.baf x dx  Chứng minh rằng tồn tại ( , )c a bsao cho ( ) 2005 ( ) .caf c f x dx Giải. Xét hàm số 2005( ) ( ) .ttaF t e f x dx Khi đó ( ) ( ) 0F a F bvà 2005 2005( ) 2005 ( ) ( ).tttaF t e f x dx e f t   Theo Định lý Rolle, tồn tại ( , )c a bsao cho ( ) 0,Fc nghĩa là 2005 20052005 ( ) ( ) 0.cccae f x dx e f c   Hay từ đây suy ra điều phải chứng minh: ( ) 2005 ( ) .caf c f x dx Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ sao cho()f x avới mọi .x¡Biết rằng 7 200 ( )sin .f x xdx a Chứng minh rằng khi đó trên đoạn 0,2, phương trình( ) 0fxcó duy nhất nghiệm. Giải. Ta có 2 2 2200 0 02200( )sin ( ) cos cos ( ) ( )cos(0) ( )cos (0) cos (0) .f x xdx f x d x xf x f x xdxf f x xdx f a xdx f a              Suy ra 20(0) ( )sin 0.f f x xdx a   Giả sử ( 2) 0.f Từ giả thiết ( ) 0f x asuy ra ()fxđồng biến trên đoạn  0, 2 . Khi đó  ( ) 0 0, 2 .f x x   Do vậy ( )sin 0 0, 2 ,f x x x  hay 20( )sin 0.f x xdx Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy, ( 2) 0.f Kết hợp với điều kiện()fxtrên đoạn  0, 2suy ra điều phải chứng minh. Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện  121( ) , 0,1 .2xxf t dt x   Hãy chứng minh  11200( ) ( ) .f x dx xf x dx Giải. Ta có     1 1 1 12220 0 0 0112000 ( ) ( ) 2 ( )1( ) 2 ( ) .3f x x dx f x dx xf x dx x dxf x dx xf x dx           Suy ra  112001( ) 2 ( ) . (1)3f x dx xf x dx Đặt 110( ) .xA f t dt dx 8 Ta có 1 1 120011( ) .23xxA f t dt dx dx     Mặt khác 11 1 1 1 10 0 00( ) ( ) ( ) ( ) .xxA f t dt dx x f t dt xf x dx xf x dx        Do đó 101( ) .3xf x dx  (2) Thay (2) vào (1) suy ra điều phải chứng minh. Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡và thoả mãn điều kiện(0) (1) .f f a Chứng minh rằng   x 0,1max ( ) 8( )f x a b, với   0,1min ( ) .xb f x Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn  ,.¡ Giải. Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý Rolle, tồn tại (0,1)csao cho( ) 0fc. Xét khai triển Taylor của hàm ()fxtại điểm c: 2( ( ))( ) ( ) ( )( ) ( )2fxf x f c f c x c x c    . Thay lần lượt giá trị x = 0 và x = 1 vào đẳng thức trên ta thu được 22( (0).2( (1)(1 ) .2fa b cfa b c   Hay 222( )( (0)) 0.2( )( (1)) 0.(1 )abfcabfc Nhân vế với vế hai bất đẳng thức sau cùng ta thu được 22224( )( (0)) ( (1)) 64( ) .(1 )abf f a bcc    (sử dụng bất đẳng thức 221(1 )16cc với [0,1])c. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Mở rộng đối với đoạn  ,:  2x,8( )max {f (x)}()ab. Ghi chú: Nếu thí sinh đưa ra đư phản ví dụ khi a=b thì có thể xét thưởng điểm. Hết . HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn. ĐÁP ÁN OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích Câu 1. Cho dãy số {xn} xác định như sau: 100, ( 1) , 1. 2004 nnnxx x

— Xem thêm —

Xem thêm: ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf, ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf, ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.391595125198 s. Memory usage = 13.94 MB