Hạng của ma trận.pdf

luanvan01
luanvan01(161 tài liệu)
(61 người theo dõi)
Lượt xem 1984
100
Tải xuống
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 9 | Loại file: PDF
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/08/2012, 14:24

Mô tả: Hạng của ma trận ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHTài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 15 tháng 11 năm 2004Hạng Của Ma TrậnCùng với định thức, ma trận (đặc biệt là hạng của ma trận) là các công cụ cơ bản để giải quyếtcác bài toán về hệ phương trình tuyến tính nói riêng và đại số tuyến tính nói chung. Bài viếtnày sẽ giới thiệu định nghĩa, các tính chất cơ bản của hạng ma trận, và hai phương pháp cơbản để tính hạng của ma trận.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bảnTrước hết, cần nhớ lại khái niệm định thức con cấp k của một ma trận. Cho A là ma trậncấp m × n; k là số tự nhiên 1 ≤ k ≤ min{m, n}. Chọn ra k dòng, k cột bất kỳ của A. Các phầntử thuộc giao của k dòng, k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k, gọi là ma trận con cấp kcủa ma trận A. Định thức của ma trận con cấp k này gọi là một định thức con cấp k của A.1.1 Định nghĩa hạng của ma trậnCho A là ma trận cấp m × n khác không.Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m, n} thỏa mãn các điều kiện sau:1. Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.2. Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.Nói cách khác, hạng của ma trận A = O chính là cấp cao nhất của các định thức con kháckhông của ma trận A.Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A) hoặc rank(A).Qui ước: hạng của ma trận không O là 0.1.2 Các tính chất cơ bản về hạng của ma trận1.2.1 Tính chất 1Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, tức là rank At= rank A.11.2.2 Tính chất 2Nếu A là ma trận vuông cấp n thìrank A = n ⇐⇒ det A = 0rank A < n ⇐⇒ det A = 0Nếu xảy ra trường hợp đầu, ta nói A là ma trận vuông không suy biến. Nếu xảy ra trườnghợp thứ hai, ta nói A là ma trận vuông suy biến.1.2.3 Tính chất 3Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thìrank(A + B) ≤ rank A + rank B1.2.4 Tính chất 4Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. Khi đó1. rank(AB) ≤ min{rank A, rank B}2. Nếu A là ma trận vuông không suy biến thì rank(AB) = rank B.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức2.1Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra ngay thuật toán sau đây để tìm hạngcủa ma trận A cấp m × n (A = O)Bước 1Tìm một định thức con cấp k khác 0 của A. Số k càng lớn càng tốt. Giả sử định thức concấp k khác không là Dk.Bước 2Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức Dk. Xảy ra 3 khả năng sau1. Không có một định thức con cấp k + 1 nào của A. Khả năng này xảy ra khi và chỉ khik = min{m, n}. Khi đó rank A = k = min{m, n}. Thuật toán kết thúc.2. Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dkđều bằng 0. Khi đórank A = k. Thuật toán kết thúc.3. Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1chứa định thức con Dkkhác 0. Khiđó lặp lại bước 2 với Dk+1thay cho Dk. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ra trườnghợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc.22.2 Ví dụTìm hạng của ma trậnA =1 2 2 1 4−1 1 1 1 31 3 3 2 22 1 1 0 1GiảiĐầu tiên ta thấy A có định thức con cấp 2, D2=1 2−1 1= 3 = 0 (Định thức này đượctạo thành bởi 2 dòng đầu, 2 cột đầu của A)Xét các định thức con cấp 3 của A chứa D2, ta thấy có định thức con cấp 3 khác 0. Đó làđịnh thứcD3=1 2 1−1 1 11 3 2= 1 = 0(Định thức này được thành bởi các dòng 1, 2, 3, các cột 1, 2, 4 của A)Tiếp tục, xét các định thức con cấp 4 của A chứa D3. Có tất cả 2 định thức như vậy, đó làD4,1=1 2 2 1−1 1 1 11 3 3 22 1 1 0vàD4,2=1 2 1 4−1 1 1 31 3 2 22 1 0 1Cả 2 định thức này đều bằng 0. Do đó rank A = 3.Chú ý. Có thể nhận xét dòng (4) của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của dòng (1) vàdòng (2); dòng (4) = dòng (1) - dòng (2), nên dễ dàng thấy được D4,1= 0, D4,2= 0.Việc tìm hạng của ma trận bằng định thức như trên phải tính toán khá phức tạp nên trongthực tế người ta ít sử dụng mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng của ma trậnbằng các phép biến đổi sơ cấp sau đây.3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng cácphép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss)Trước khi giới thiệu phương pháp này, ta cần nhớ lại một số khái niệm sau3.1 Ma trận bậc thang3.1.1 Định nghĩaMa trận A cấp m × n khác không gọi là một ma trận bậc thang nếu tồn tại số tự nhiên r,1 ≤ r ≤ min{m, n} thỏa các điều kiện sau:31. r dòng đầu của A khác không. Các dòng từ thứ r + 1 trở đi (nếu có) đều bằng 0.2. Xét dòng thứ k với 1 ≤ k ≤ r. Nếu (A)kiklà phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sangphải) khác 0 của dòng k thì ta phải có i1< i2< · · · < ir.Các phần tử (A)kikgọi là các phần tử được đánh dấu của ma trận A. Các cột chứa cácphần tử được đánh dấu (các cột i1, i2, . . . , ir) gọi là cột đánh dấu của ma trận A. Như vậy,điều kiện (2) có thể phát biểu lại như sau: Nếu đi từ dòng trên xuống dưới thì các phần tử đánhdấu phải lùi dần về phía phải. Và như vậy, ma trận bậc thang có dạng như sau:i1i2irA =0 . . . 0 (A)∗1 i1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 0 . . . 0 (A)∗2 i2. . . . . . . . . . . .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (A)∗r ir· · ·0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . . 0 . . . . . . 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . . 0 . . . . . . 0(1)(2)(r)(r + 1)(m)Ta có nhận xét quan trọng sau:Nếu A là ma trận bậc thang thì số r trong định nghĩa chính là rank A.Thật vậy, có thể chỉ ra một định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức Drtạobởi r dòng đầu và r cột đánh dấu i1, i2, . . . , ir.Dr=(A)1 i1· · · · · · · · ·0 (A)2 i2· · · · · · 0 0 · · · (A)r ir= (A)1 i1(A)2 i2. . . (A)r ir= 0Ngoài ra, các định thức con cấp r + 1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhấtmột dòng bằng không. Do đó, chúng đều bằng 0.3.1.2 Ví dụ về các ma trận bậc thangA =0 1∗2 0 0 3 4 00 0 0 3∗4 −1 0 00 0 0 0 1∗0 0 00 0 0 0 0 0 2∗30 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0B =1∗0 0 0 0 0 00 −1∗2 0 0 3 40 0 0 0 3∗0 00 0 0 0 0 4∗10 0 0 0 0 0 5∗Các ma trận A, B đều là các ma trận bậc thang, và ta có rank A = 4 (bằng số dòng kháckhông của A), rank B = 5 (bằng số dòng khác không của B).43.2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trậnBa phép biến đổi sau gọi là phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận:1. Đổi chỗ 2 dòng cho nhau.2. Nhân một dòng cho một số khác 0.3. Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác.Tương tự, bằng cách thay dòng thành cột, ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên các cột củama trận.3.3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biếnđổi sơ cấpNội dung của phương pháp này dựa trên hai nhận xét khá đơn giản sau1. Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.2. Một ma trận khác O bất kỳ đều có thể đưa về dạng bậc thang sau một số hữu hạn cácphép biến đổi sơ cấp trên dòng.Như vậy, muốn tìm hạng của ma trận A, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa A vềdạng bậc thang, do nhận xét (1), hạng của A bằng hạng của ma trận bậc thang, và ta đã biếthạng của ma trận bậc thang chính bằng số dòng khác không của nó.Cần lưu ý bạn đọc rằng: kỹ năng đưa một ma trận về dạng bậc thang bằng các phép biếnđổi sơ cấp là một kỹ năng cơ bản, nó cần thiết không chỉ trong việc tìm hạng của ma trận màcòn cần để giải nhiều bài toán khác của Đại số tuyến tính.Sau đây, chúng tôi xin đưa ra một thuật toán để đưa một ma trận về dạng bậc thang bằngcác phép biến đổi sơ cấp:Xét ma trậnA =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n am1am2· · · amn3.3.1 Bước 1Bằng cách đổi chỗ 2 dòng cho nhau (nếu cần), ta luôn có thể giả sử a11= 0.Nhân dòng (1) với −a21a11, cộng vào dòng (2),Nhân dòng (1) với −a31a11, cộng vào dòng (3), .Nhân dòng (1) với −an1a11, cộng vào dòng (n).Ta nhận được ma trận5A1=a11a12ã ã ã ã ã ã a1n0 b22ã ã ã ã ã ã b2n0 b32ã ã ã ã ã ã b3n .0 bm2ã ã ã ã ã ã bmnChỳ ý. Nu ton b ct 1 bng 0 (a11= 0, a21= 0, . . . , an1= 0 thỡ ta cú th b qua ct 1m thc hin bc 1 vi ct k tip.3.3.2 Bc 2Xột ma trnB =b22ã ã ã ã ã ã b2nb32ã ã ã ã ã ã b3n bm2ã ã ã ã ã ã bmnNu B = O hoc B cú dng bc thang thỡ A1l ma trn bc thang, thut toỏn kt thỳc.Trong trng hp ngc li, tip tc lp li bc 1 cho ma trn B.Cn chỳ ý rng ma trn B cú ớt hn ma trn A 1 dũng v 1 ct. Do ú, sau mt s huhn bc lp, B s l ma trn khụng hoc ma trn bc thang. Khi ú, thun toỏn s kt thỳc.3.4 Vớ d3.4.1 Vớ d 1Tỡm hng ca ma trnA =0 1 3 4 61 3 4 5 23 5 2 3 42 3 5 6 4GiiAd1d21 3 4 5 20 1 3 4 63 5 2 3 42 3 5 6 4d33d1+d3d42d1+d41 3 4 5 20 1 3 4 60 4 10 12 20 3 13 16 8d34d2+d3d43d2+d41 3 4 5 20 1 3 4 60 0 22 28 260 0 22 28 26d4d1+d41 3 4 5 20 1 3 4 60 0 22 28 260 0 0 0 0Vy rank A = 363.4.2 Ví dụ 2Tìm hạng của ma trận vuông cấp nB =a 1 1 · · · 11 a 1 · · · 1 .1 1 1 · · · aGiảiBc1→c1+c2+···+cn−→a + n − 1 1 1 · · · 1a + n − 1 a 1 · · · 1 .a + n − 1 1 a · · · ad2=d2−d1d3=d3−d1−→······dn=dn−d1a + n − 1 1 1 · · · 10 a − 1 0 · · · 0 .0 0 0 · · · a − 1= CXảy ra 3 trường hợp sau:1. a = 1 − n, a = 1, khi đó ma trận C là ma trận bậc thang và rank B = rank C = n2. a = 1, khi đó ma trận C là ma trận bậc thang và rank B = rank C = 13. a = 1 − n, khi đóC =0 1 1 · · · 10 −n 0 · · · 0 .0 0 0 · · · −nDo đó, C không là ma trận bậc thang nhưng có định thức con cấp n − 1 khác không, đólà định thức con tạo bởi n − 1 dòng cuối, n − 1 cột cuốiDn−1=−n 0 · · · 00 −n · · · 0 .0 0 · · · −n= (−n)n−1= 0và det C = 0Do đó, rank C = n − 1 Bởi vậy, rank B = n − 1.7BÀI TẬPTìm hạng của các ma trận sau13.4 3 −5 2 38 6 −7 4 24 3 −8 2 78 6 −1 4 −614.3 −1 3 2 55 −3 2 3 41 −3 5 0 77 −5 1 4 115.2 1 2 1 2 11 2 1 2 1 23 4 3 4 3 45 5 6 7 5 516.2 1 1 11 3 1 11 1 4 11 1 1 51 2 3 41 1 1 117.3 1 1 4a 4 10 11 7 17 32 2 4 318.−1 2 1 −1 1a −1 1 −1 −11 a 0 1 11 2 2 −1 1Tìm hạng của các ma trận vuông cấp n19.1 + a a · · · aa 1 + a · · · a .aa a · · · 1 + a20.0 1 1 · · · 11 0 x · · · x1 x 0 · · · x .1 x x · · · 0821.a b · · · bb a · · · b b b · · · a9 . thành ma trận vuông cấp k, gọi là ma trận con cấp kcủa ma trận A. Định thức của ma trận con cấp k này gọi là một định thức con cấp k của A.1.1 Định nghĩa hạng. chính là cấp cao nhất của các định thức con kháckhông của ma trận A .Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A) hoặc rank(A).Qui ước: hạng của ma trận không O là 0.1.2

— Xem thêm —

Xem thêm: Hạng của ma trận.pdf, Hạng của ma trận.pdf, Hạng của ma trận.pdf

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.0787880420685 s. Memory usage = 13.93 MB