Ma trận khả nghịch.pdf

luanvan01
luanvan01(162 tài liệu)
(32 người theo dõi)
Lượt xem 734
20
Tải xuống miễn phí
Số trang: 7 | Loại file: PDF
1
Thêm vào bộ sưu tập

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/08/2012, 14:24

Mô tả: Ma trận khả nghịch ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHMA TRẬN KHẢ NGHỊCHPhiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 6 tháng 12 năm 20041 Ma trận khả nghịch1.1 Các khái niệm cơ bảnCho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trậnB vuông cấp n sao choAB = BA = En(1)(Enlà ma trận đơn vị cấp n)Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa điều kiện (1) là duy nhất, và B gọi là matrận nghịch đảo (ma trận ngược) của ma trận A, ký hiệu là A−1.Vậy ta luôn có: A.A−1= A−1.A = En1.2 Các tính chất1. A khả nghịch ⇐⇒ A không suy biến (det A = 0)2. Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)−1= B−1A−13. (At)−1= (A−1)t1.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo1.3.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thứcTrước hết, ta nhớ lại phần bù đại số của một phần tử. Cho A là ma trận vuông cấp n,nếu ta bỏ đi dòng i, cột j của A, ta được ma trận con cấp n − 1 của A, ký hiệu Mij. Khi đóAij= (−1)i+jdet Mijgọi là phần bù đại số của phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.Ma trậnPA=A11A21· · · An1A12A22· · · An2 A1nA2n· · · Ann=A11A12· · · A1nA21A22· · · A2n An1An2· · · Anntgọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.1Ta có công thức sau đây để tìm ma trận nghịch đảo của A.Cho A là ma trận vuông cấp n.Nếu det A = 0 thì A không khả nghịch (tức là A không có ma trận nghịch đảo).Nếu det A = 0 thì A khả nghịch vàA−1=1det APAVí dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA =1 2 10 1 11 2 3GiảiTa códet A =1 2 10 1 11 2 3= 2 = 0Vậy A khả nghịch.Tìm ma trận phụ hợp PAcủa A. Ta có:A11= (−1)1+11 12 3= 1A12= (−1)1+20 11 3= 1A13= (−1)1+30 11 2= −1A21= (−1)2+12 12 3= −4A22= (−1)2+21 11 3= 2A23= (−1)2+31 21 2= 0A31= (−1)3+12 11 1= 1A32= (−1)3+21 10 1= −1A33= (−1)3+31 20 1= 1VậyPA=1 −4 11 2 −1−1 0 12v do úA1=121 4 11 2 11 0 1=12212121 1212012Nhn xột. Nu s dng nh thc tỡm ma trn nghch o ca mt ma trn vuụng cpn, ta phi tớnh mt nh thc cp n v n2nh thc cp n 1. Vic tớnh toỏn nh vy khỏphc tp khi n > 3.Bi vy, ta thng ỏp dng phng phỏp ny khi n 3. Khi n 3, ta thng s dng cỏcphng phỏp di õy.1.3.2 Phng phỏp tỡm ma trn nghch o bng cỏch da vo cỏc phộp bin is cp (phng phỏp Gauss) tỡm ma trn nghch o ca ma trn A vuụng cp n, ta lp ma trn cp n ì 2n[A | En](Enl ma trn n v cp n)[A | En] =a11a12ã ã ã a1na21a22ã ã ã a2n an1an2ã ã ã ann1 0 ã ã ã 00 1 ã ã ã 0 0 0 ã ã ã 1Sau ú, dựng cỏc phộp bin i s cp trờn dũng a ma trn [A | En] v dng [En| B]. Khiú, B chớnh l ma trn nghch o ca A, B = A1.Chỳ ý. Nu trong quỏ trỡnh bin i, nu khi bờn trỏi xut hin dũng gm ton s 0 thỡma trn A khụng kh nghch.Vớ d. Tỡm ma trn nghch o ca ma trnA =0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0Gii[A | E4] =0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 01 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1d1d1+d2+d3+d43 3 3 31 0 1 11 1 0 11 1 1 01 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1d113d11 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0131313130 1 0 00 0 1 00 0 0 1d2d1+d2d3d1+d3d4d1+d41 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1131313131323131313132313131313233−→d1→d1+d2+d3+d41 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1−23131313−1323−13−13−13−1323−13−13−13−1323d2→−d2−→d4→−d4d3→−d31 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1−2313131313−2313131313−2313131313−23VậyA−1=−2313131313−2313131313−2313131313−231.3.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trìnhCho ma trận vuông cấp nA =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n an1an2· · · annĐể tìm ma trận nghịch đảo A−1, ta lập hệa11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= y1a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= y2 .an1x1+ an2x2+ · · · + annxn= yn(2)trong đó x1, x2, . . . , xnlà ẩn, y1, y2, . . . , ynlà các tham số.* Nếu với mọi tham số y1, y2, . . . , yn, hệ phương trình tuyến tính (2) luôn có nghiệm duynhất:x1= b11y1+ b12y2+ · · · + b1nynx2= b21y1+ b22y2+ · · · + b2nyn .xn= bn1y1+ bn2y2+ · · · + bnnynthìA−1=b11b12· · · b1nb21b22· · · b2n bn1bn2· · · bnn* Nếu tồn tại y1, y2, . . . , ynđể hệ phương trình tuyến tính (2) vô nghiệm hoặc vô số nghiệmthì ma trận A không khả nghịch.4Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA =a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 aGiảiLập hệax1+ x2+ x3+ x4= y1(1)x1+ ax2+ x3+ x4= y2(2)x1+ x2+ ax3+ x4= y3(3)x1+ x2+ x3+ ax4= y4(4)Ta giải hệ trên, cộng 2 vế ta có(a + 3)(x1+ x2+ x3+ x4) = y1+ y2+ y3+ y4(∗)1. Nếu a = −3, chọn các tham số y1, y2, y3, y4sao cho y1+ y2+ y3+ y4= 0. Khi đó (*) vônghiệm, do đó hệ vô nghiệm, bởi vậy A không khả nghịch.2. a = −3, từ (*) ta cóx1+ x2+ x3+ x4=1a + 3(y1+ y2+ y3+ y4) (∗∗)Lấy (1), (2), (3), (4) trừ cho (**), ta có(a − 1)x1=1a + 3((a + 2)y1− y2− y3− y4)(a − 1)x2=1a + 3(−y1+ (a + 2)y2− y3− y4)(a − 1)x3=1a + 3(−y1− y2+ (a + 2)y3− y4)(a − 1)x4=1a + 3(−y1− y2− y3+ (a + 2)y4)(a) Nếu a = 1, ta có thể chọn tham số y1, y2, y3, y4để (a + 2)y1− y2− y3− y4khác 0.Khi đó hệ và nghiệm và do đó A không khả nghịch.(b) Nếu a = 1, ta cóx1=1(a − 1)(a + 3)((a + 2)y1− y2− y3− y4)x2=1(a − 1)(a + 3)(−y1+ (a + 2)y2− y3− y4)x3=1(a − 1)(a + 3)(−y1− y2+ (a + 2)y3− y4)5x4=1(a − 1)(a + 3)(−y1− y2− y3+ (a + 2)y4)Do đóA−1=1(a − 1)(a + 3)a + 2 −1 −1 −1−1 a + 2 −1 −1−1 −1 a + 2 −1−1 −1 −1 a + 2Tóm lại:Nếu a = −3, a = 1 thì ma trận A không khả nghịch.Nếu a = −3, a = 1, ma trận nghịch đảo A−1được xác định bởi công thức trên.6BÀI TẬPTìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau22.1 0 32 1 13 2 223.1 3 22 1 33 2 124.−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −125.0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1−1 −1 −1 0Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận vuông cấp n26.1 1 1 · · · 10 1 1 · · · 10 0 1 · · · 1 .0 0 0 · · · 127.1 + a 1 1 · · · 11 1 + a 1 · · · 11 1 1 + a · · · 1 .1 1 1 · · · 1 + a7 . ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trậnB vuông cấp n sao choAB = BA = En(1)(Enlà ma trận đơn vị cấp n)Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma. thì ma trận A không khả nghịch. Nếu a = −3, a = 1, ma trận nghịch đảo A−1được xác định bởi công thức trên.6BÀI TẬPTìm ma trận nghịch đảo của các ma trận

— Xem thêm —

Từ khóa: Ma trận khả nghịch ma trận SWOT led ma trận

Xem thêm: Ma trận khả nghịch.pdf, Ma trận khả nghịch.pdf, Ma trận khả nghịch.pdf

Gửi bình luận

Bình luận
Lên đầu trang
  • Mirumiru
    Mirumiru · Vào lúc 10:18 pm 23/06/2013
    Rất cảm ơn bạn về tài liệu này!
  • Juu Minh Thu
    Juu Minh Thu · Vào lúc 11:34 pm 15/09/2013
    Tài liệu rất hữu ích à nha . Thành viên tích cực . Thanks for share 
  • enlicious
    enlicious · Vào lúc 04:27 am 04/12/2013
    Cám ơn bạn nhiều! Cứ phải làm bài tập mới được ^^
  • ChiếpChiếp
    ChiếpChiếp · Vào lúc 06:29 am 26/12/2013
    Hay quá. Mình cũng đang cần những tài liệu như thế này. Cảm ơn bạn nhiều nha :x
  • fresh boy 9
    fresh boy 9 · Vào lúc 04:18 am 28/12/2013
    Thank bác nhiều, mà bác còn bí kíp nào nữa không ạ, up lên cho bọn em chiêm ngưỡng với ạ
Xem thêm
Đăng ký

Generate time = 0.290670871735 s. Memory usage = 13.83 MB