Cách giải ,các bài toán,cực trị, cho học sinh

Hội vịt bầu
Hội vịt bầu(17866 tài liệu)
(170 người theo dõi)
Lượt xem 249
4
Tải xuống 2,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 14 | Loại file: DOC
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 08/04/2013, 20:33

Mô tả: Trong những năm đây, các kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp những bài toán yêu cầu tìm GTNN Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 A. PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong những năm đây, các kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp những bài toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào đó. Các bài toán này gọi chung là các bài toán cực trị. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán. Bài toán đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất . trong một bài toán. Để dần dần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này. Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh. Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này. Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh. Với ý nghĩa như vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương pháp giải các bài toán cực trị là vấn đề quan trọng. Qua thực tế giảng dạy bản thân đã rút ra được một số phương pháp để giải các bài toán cực trị nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi toán. II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Áp dụng với học sinh khối 8, 9. Là học sinh khá giỏi tham gia trong các đội tuyển HSG trường, học sinh thi đồng đội Toán tỉnh. III. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Giúp cho học sinh làm quen và có một số hiểu biết về một số dạng toán cực trị thường gặp. Thực hiện: Lưu Việt Thu 1 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Đề tài trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc THCS. Mỗi phương pháp được trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết và ví dụ minh hoạ hoặc từ bài tập cụ thể, rút ra nhận xét tổng quát. IV. PHẠM VI ĐỀ TÀI: Đề tài chỉ đề cập tới một số phương pháp giải một số loại toán cực trị đại số thường gặp trong chương trình toán học THCS, đối tượng mà đề tài nhằm tới là học sinh khá, giỏi toán THCS. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tham khảo môt số tài liệu có liên quan. B. PHẦN NỘI DUNG I. Kiến thức: 1. Cho biểu thức f(x, y…) Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: - Với mọi x, y … để f(x, y…) xác định thì F(x, y…) ≤ M ( M là hằng số ) - Tồn tại x 0 , y 0 , … sao cho f(x 0 , y 0 , .) = M 2. Cho biểu thức f(x, y…) Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: - Với mọi x, y … để f(x, y…) xác định thì F(x, y…) ≥ m ( m là hằng số ) - Tồn tại x 0 , y 0 , … sao cho f(x 0 , y 0 , .) = m II. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) ≥ 0 { hoặc A(x) ≤ 0 } - Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần: Thực hiện: Lưu Việt Thu 2 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 + Chứng minh rằng A(x) ≥ k với k là hằng số. + Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra. - Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh rằng A(x) ≤ k với k là hằng số. + Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1) 2 + (x-3) 2 . (Nâng cao và phát triển Toán 8) Giải: A(x) = (x-1) 2 + (x-3) 2 = x 2 -2x+1+x 2 -6x+9=2(x 2 -4x+5)=2(x-2) 2 +2 ≥ 2 Vì (x-2) 2 ≥ 0 với ∀ x. Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = -5x 2 - 4x+1 (Nâng cao và phát triển Toán 8) Giải : Từ B(x) = -5x 2 - 4x+1 ta có B(x)= -5(x 2 + 4 5 x)+1 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 9 5 x 2 x 1 5 x 1 5 x 5 5 5 5 25 5 5             − + + − + = − + − + = − + +      ÷  ÷  ÷  ÷                 Vì 2 2 x 0 5   + ≥  ÷   với x R∀ ∈ nên 2 2 5 x 0 5   − + ≤  ÷   2 2 9 9 B(x) 5 x 5 5 5   ⇒ = − + + ≤  ÷   Max B(x) = 9 2 khi x 5 5 = − Bài tập vận dụng: 1. Tìm GTLN của A= 1 – x 2 + 3x 2. Tìm GTNN của B= x 2 – 5x + 1 3. Cho tam thức bậc hai C= ax 2 + bx + c a. Tim GTLN của C nếu a < 0. b. Tìm GTNN của C nếu a > 0. III. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng 2 A(x) 0 k ≥ hoặc 2 A(x) 0 k ≤ Thực hiện: Lưu Việt Thu 3 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số 2 2 3x 6x 10 A(x) x 2x 3 + + = + + (Nâng cao và phát triển Toán 8) Giải: Từ 2 2 3x 6x 10 A(x) x 2x 3 + + = + + Ta có A(x) = 2 2 2 2 2 3x 6x 9 1 3(x 2x 3) 1 1 3 x 2x 3 x 2x 3 (x 1) 2 + + + + + + = = + + + + + + + Vì (x+1) 2 ≥ 0 với ∀ x nên (x+1) 2 +2 ≥ 2 với ∀ x. Do đó: 2 1 1 2 (x 1) 2 ≤ + + Vậy A(x) = 2 1 1 1 3 3 3 2 2 (x 1) 2 + ≤ + = + + Max A(x) = 1 3 2 khi (x+1) 2 = 0 ⇔ x = -1 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) = 2 2 2x 16x 41 x 8x 22 − + − + với x R∈ (Nâng cao và phát triển Toán 8) Giải: Từ B(x) = 2 2 2 2 2 2x 16x 41 2(x 8x 22) 3 3 2 x 8x 22 x 8x 22 (x 4) 6 − + − + − = = − − + − + − + Vì (x- 4) 2 ≥ 0 với x∀ nên (x- 4) 2 +6 ≥ 6. Nên 2 3 3 1 6 2 (x 4) 6 ≤ = − + 2 3 1 3 B(x) 2 2 2 2 (x 4) 6 ⇒ = − ≥ − = − + Min B(x) = 3 2 khi (x- 4) 2 = 0 ⇔ x = 4 Bài tập vận dụng: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau ( nếu có ): a/. 9 1227 2 + − x x b/. 1 323 2 2 + +− x xx c/. 52 1763 2 2 +− +− xx xx d/. 9963 27 234 6 +−+− + xxxx x Thực hiện: Lưu Việt Thu 4 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 IV. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cosi. - Bất đẳng thức Cosi cho 2 số. Cho a, b không âm, ta có bất đẳng thức a b 2 ab 2 + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b - Bất đẳng thức Cosi cho n số: Cho n số a 1 , a 2 , a n không âm, ta có bất đẳng thức: 1 2 n n 1 2 n a a . a a ,a .a n + + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = . = a n + Bài toán: a. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. b. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. (Nâng cao và phát triển Toán 8) Giải: a. Ta cần chứng minh rằng với x >0; y > 0 và xy = k (không đổi) thì x+y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có: x + y xy ≥ mà xy = k (không đổi) Nên ta có: x+y 2 xy 2 k≥ = (1) Vậy tổng P = x + y lấy giá trị nhỏ nhất x + y = 2 k khi x = y b. Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x + y = k (hằng số). Từ (x+y) 2 ≥ 4xy ⇒ xy 2 k 4 ≤ Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn nhất bằng 2 k 4 khi x = y Thực hiện: Lưu Việt Thu 5 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của hai bất đẳng thức trên để giải các bài toán cực trị đại số. Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của A (x) = ( x 2 - 3x + 1) ( 21 + 3x - x 2 ) (Nâng cao và phát triển Toán 8) Giải: Các biểu thức x 2 -3x+1 và 21+3x-x 2 có tổng không đổi (bằng 22) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi x 2 - 3x + 1 = 21+ 3x - x 2 ⇔ x 2 - 3x – 10 = 0 ⇔ x 1 = 5 ; x 2 = -2. Khi đó A=11.11 = 121 Vậy Max A = 121 ⇔ x = 5 hoặc x = -2 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của B (x) = 2 16x 4x 1 2x − + với x > 0. (Nâng cao và phát triển Toán 8) Giải: Từ B (x) = 2 16x 4x 1 2x − + Ta có B (x) = 8x + 2 + 1 2x . Hai số 8x và 1 2x là hai số dương, có tích không đổi (bằng 4) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 8x = 1 2x ⇔ 16x 2 =1 ⇔ x = 1 4 (x>0) Vậy Min B = 1 1 1 1 6 x 1 4 2 + + = ⇔ = Bài tập vận dụng: Tìm GTNN của a/. A= ( a + b )       + ba 11 với a, b > 0 b/. B= ( a + b + c )       ++ cba 111 với a, b, c > 0 c/. C= ( a + b + c + d )       +++ dcba 1111 với a, b, c, d > 0 V. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số: Ví dụ 7: Tìm giá trị của m và p sao cho: Thực hiện: Lưu Việt Thu 6 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 A= m 2 - 4mp + 5p 2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. ( Báo toán học tuổi trẻ ) Giải: A = (m 2 -4mp + 4p 2 ) + (p 2 -2p + 1) + 27 + 10m - 20p = (m-2p) 2 + (p-1) 2 27 + 10(m-2p) Đặt X = m-2p. Ta có A=x 2 + 10X + 27 + (p-1) 2 = (X 2 + 10X + 25) + (p-1) 2 + 2 = (X+5) 2 + (p-1) 2 + 2 Ta thấy: (X + 5) 2 ≥ 0 với ∀ m, p; (p-1) 2 ≥ 0 ∀ p Do đó: A đạt giá trị nhỏ nhất khi: X 5 0 X 5 m 2p 5 m 3 hay p 1 0 p 1 p 1 p 1 + = = − − = − = −     ⇔ ⇔     − = = = =     Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1. Ví dụ 8:Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất P (x, y, z) = 19x 2 + 54y 2 + 16z 2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5 Giải: Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm. Ta có: P (x, y, z) = (9x 2 + 36xy + 36y 2 ) + (18y 2 - 24yz+8z 2 ) +(8x 2 16xy+8z 2) + 2x 2 + 5 = 9(x+2y) 2 + 2(3y - 2z) 2 + 8(x-z) 2 + 2x 2 + 5. Ta thấy: (x+2y) 2 ≥ 0 với ∀ x, y. (3y-2z) 2 ≥ 0 với ∀ y,z (x-z) 2 ≥ 0 với ∀ x, z x 2 ≥ 0 với ∀ x, y. Biểu thức P (x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y) 2 , (3y-2z) 2 ; (x-z) 2 , x 2 đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm. x 2y 0 x 0 3y 2z 0 y 0 x z 0 z 0 x 0 + =  =   − =   ⇔ =   − =   =   =  Thực hiện: Lưu Việt Thu 7 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Vậy Min P (x,y,z) = 5 khi x = 0, y=0, z = 0. - Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C_+ .+ Với A ≥ k 1 2 , B ≥ k 2 2 , C ≥ k 3 2 , thì ta có thể kết luận P đạt giá trị nhỏ nhất khi A, B, C . đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc và khi đó P (min) = k 1 2 +k 2 2 +k 3 2 + . Để tìm ra các biến số tương ứng với P (min) ta giải hệ phương trình: 2 1 2 2 2 3 A k B k C k  =  =   =    Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 2 7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t t 2005− + − + + + − + − + . Trong đó x;y;z;t là các số hữu tỉ Giải: Ta có : A= 2 1 3 7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t 2004 2 4   − + − + + + − + − +  ÷   Vì 0 Qα ≥ ∀α ∈ và 2 1 t 0 2   − ≥  ÷   nên A 3 2004 4 ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 7x 5y 0 (1) 2z 3x 0 (2) xy yz zx 2000 0 (3) 1 t 0 (4) 2 − =   − =   + + − =      − =  ÷     Từ (1) ta có: y= 7 x 5 . Từ (2) ta có: 3 z x 2 = Thay vào (3) ta được: 2 2 2 2 7 21 3 x x x 2000 5x 2000 5 10 2 + + = <=> = <=> x 2 =400 <=> x= ± 20 - Với x = 20 ta có y = 28; z = 30 Thực hiện: Lưu Việt Thu 8 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 - Với x = -20 ta có y = -28; z = -30 Ngoài ra, từ (4) ta có: t= 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2004 3 4 , đạt được khi (x;y;z;t) = (20;28;30; 1 2 ) Hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30; 1 2 ) Bài tập vận dụng: Tìm GTNN của các biểu thức: a. x 2 - 2xy + 2y 2 + 2x – 10y + 17 b. 2x 2 + 2xy + 5y 2 - 8x – 22y VI. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. 1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Cho 2n số a 1 , a 2 , a n ; b 1 , b 2 , b n ta luôn có: (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) ≤ (a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 )(b 1 2 + b 2 2 + + b n 2 ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n 1 2 n a a a . b b b = = = 2. Các ví dụ: Ví dụ 10: Tìm các giá trị x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất P = x 2 + y 2 + z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết rằng x+y+z = 1995 Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các bộ số: 1, 1, 1; x, y, z Ta có: (x.1+y.1+z.1) 2 ≤ (1 2 + 1 2 + 1 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) Hay: (x+y+z) 2 ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ) Từ đó ta có P = x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 (x y z) 3 + + mà x+y+z = 1995 => Ta có: P= x 2 + y 2 + z 2 2 1995 3 ≥ với ∀ x, y, z Thực hiện: Lưu Việt Thu 9 loại vì P (x,y) >0 Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 P min = 2 1995 3 khi x y z 1 1 1 = = hay x = y = z Mà x+y+z = 1995 <=> x=y=z = 1995 3 =665 Ví dụ 11: Cho x 2 + y 2 =52. Tìm giá trị lớn nhất của A = 2x 3y+ Giải: áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho các bộ số 2, 3; x,y, ta có: (2.x+3.y) 2 ≤ (2 2 + 3 2 )(x 2 + y 2 ) (2x+3y) 2 ≤ 13.5226 2 2x 3y+ ≤ 26 Max A = 26 <=> x y 3x y 2 3 2 = ⇔ = Thay 3x y 2 = vào x 2 + y 2 = 52 ta có x 2 + 2 9x 52 x 4 4 = ⇔ = ± Vậy Max A = 26 <=> x=4; y=6 hoặc x= - 4; y= - 6 Bài tập vận dụng: 1. Cho x 2 + y 2 = 52. Tìm GTLN của A= 2x + 3y 2. VII. Phương pháp giải các bài toán cực trị đại số thoả mãn một hệ các điều kiện nào đó: Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P (x,y) = 6x+4y thoả mãn điều kiện xy 216 x 0 y 0 =   >   >  Giải: Từ P (x,y) = 6x+4y với x>0; y > 0 do đó 6x > 0; 4y > 0 => [P (x,y) ] 2 = (6x+4y) 2 ≥ 4.6x.4y=96.xy Vì xy=216(gt) => [P (x,y) ] 2 ≥ 96.216=20736 <=> (x,y) (x,y) P 144 P 144 ≥   ≤ −   Min P (x,y) = 144 khi x= 12; y = 18 Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của A (x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x) Thực hiện: Lưu Việt Thu 10 . để giải các bài tập. Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy, học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải bài toán vào giải. thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này. Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh.

— Xem thêm —

Xem thêm: Cách giải ,các bài toán,cực trị, cho học sinh, Cách giải ,các bài toán,cực trị, cho học sinh, Cách giải ,các bài toán,cực trị, cho học sinh

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.0810399055481 s. Memory usage = 13.95 MB