Phân dạng và mở rộng một số bài tập về gương phẳng

fresh boy 12
fresh boy 12(8478 tài liệu)
(6 người theo dõi)
Lượt xem 618
8
Tải xuống 2,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 11 | Loại file: DOC
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 19/07/2013, 01:25

Mô tả: Phân dạng và mở rộng một số bài tập về gơng phẳng Lê Thị Kim Oanh Giáo viên trờng THCS Bắc Hồng - Thị xã Hồng Lĩnh A- Đặt vấn đề : Việc giải các bài tập Vật lý giúp học sinh hiểu hơn những quy luật vật lý, những hiện tợng vật lý, tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt, tự giải quyết những tình huống cụ thể khác nhau, là vấn đề quan trọng. Thực tế hiện nay, một số giáo viên khi dạy bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi chỉ cho học sinh giải hết các bài tập này đến các bài tập khác với phơng pháp đó mà cha chốt lại cho học sinh các dạng bài tập và phơng pháp giải các bài tập, cha rèn luyện đợc cho học sinh kỹ năng giải bài tập, do đó cha hình thành đợc ở học sinh khả năng t duy sáng tạo. Thông qua việc hệ thống hoá, phân loại và hớng dẫn học sinh tìm ra phơng pháp giải một bài tập Vật lý từ những bài tập đơn giản, nhằm cũng cố kiến thức cơ bản, hớng dẫn học sinh suy luận ra phơng pháp giải những bài tập ở mức độ cao hơn và từ những bài tập cơ bản đó mở rộng thành những bài tập khó hơn, tổng quát hơn. Phân dạng và mở rộng một số bài tập về gơng phẳng mà đề tài nghiên cứu nhằm đáp ứng đợc yêu cầu đó. B- Nội dung : I- Cơ sở lý thuyết : 1- Hiện tợng ánh sáng khi gặp những vật có bề mặt nhẵn chúng bị hắt trở lại môi trờng cũ gọi là hiện tợng phản xạ ánh sáng. 2- Hiện tợng phản xạ ánh sáng tuân theo định luật phản xạ ánh sáng. - Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng chứa tia tới và pháp tuyến của gơng tại điểm tới. - Góc phản xạ bằng góc tới (i = i) 3- Gơng phẳng là những vật có bề mặt nhẵn phẳng phản xạ hầu hết ánh sáng khi chiếu vào đó. * Tính chất ảnh của vật tạo bởi gơng phẳng : - ảnh ảo không hứng đợc trên màn chắn - ảnh to bằng vật - Khoảng cách từ một điểm trên vật đến gơng phẳng bằng khoảng cách từ ảnh của điểm đó tới gơng. 4- Cách vẽ ảnh của một điểm sáng qua gơng 1 S H I K M R S x x Cách 1 : Dựa vào tính chất của ảnh. Của một vật tạo bởi gơng phẳng Cách 2 : Dựa vào định luật phản xạ ánh sáng. 5- Cách vẽ ảnh của một vật sáng qua gơng phẳng. - Muốn vẽ ảnh của một vật sáng qua gơng phẳng ta phải vẽ ảnh của tất cả các điểm trên vật rồi nối lại. - Trờng hợp đặc biệt đơn giản (Vật là một đoạn thẳng) ta chỉ cần vẽ ảnh của hai điểm đầu và cuối rồi nối lại. II- Các dạng bài tập : 1- Dạng 1 : Tìm vị trí đặt gơng để thoả mãn các điều kiện cho trớc của tia tới và tia phản xạ. Từ bài tập cơ bản nhằm cũng có và khắc sâu nội dung định luật phản xạ ánh sáng sau : Vẽ tia phản xạ (hoặc tia tới) xác định góc tới, góc phản xạ trong các trờng hợp sau : Bài tập 1 : Chiếu 1 tia sáng SI theo phơng nằm ngang đến một gơng phẳng để tia phản xạ chiếu xuống đáy giếng thì cần phải đặt gơng phẳng hợp với phơng nằm ngang một góc bằng bao nhiêu? Nêu cách vẽ và vẽ hình để xác định vị trí đặt gơng? * Cách giải : + Vẽ tia tới SI theo phơng nằm ngang, tia phản xạ IR theo phơng thẳng đứng và hớng đi xuống. Góc SIR = 90 0 + Vẽ tia phân giác IN của góc SIR thì IN chính là pháp tuyến của gơng tại điểm tới I => SIN = NIR = 2 1 SIR = 45 0 + Dựng đờng thẳng GG đi qua I và vuông góc với pháp tuyến IN thì GG là đờng thẳng biểu diễn mặt gơng vì GIN = 90 0 mà SIN = 45 0 => GIS = 45 0 . Hay ta phải đặt gơng hợp với phơng nằm ngang 1 góc 45 0 thì tia tới gơng theo phơng nằm ngang sẽ cho tia phản xạ nằm theo phơng thẳng đứng hớng xuống đáy giếng. 2 S I I R S I (i = i = 50 o ) (i = i = 40 o ) (i = i = 0 o ) 40 0 50 0 S G I G R N * Từ bài tập này giáo viên ra các bài tập tơng tự nhng mở rộng ở mức độ khó hơn. Bài 2 : Một tia sáng mặt trời chiếu nghiêng 1 góc 35 0 với mặt bàn nằm ngang. Cần đặt một gơng phẳng nh thế nào để đổi phơng của tia sáng thành phơng nằm ngang? Bài 3 : Đặt 2 gơng phẳng nhỏ. Một điểm sáng S đặt trớc 2 gơng sao cho SA = SB = AB. Xác định góc hợp bởi 2 gơng để cho một tia sáng đi từ S phản xạ lần lợt trên 2 gơng ở A và B rồi : a, Đi qua S b, Phản xạ ngợc lại theo đờng cũ 2- Dạng 2 : Vẽ đờng đi của một tia sáng xuất phát từ một điểm cho trớc qua g- ơng (hoặc hệ gơng) rồi đi qua một điểm cho trớc Bài 1 : Cho một điểm sáng S nằm trớc một gơng phẳng G, M là một điểm cho trớc. a, Hãy nêu cách vẽ một tia sáng từ S chiếu tới gơng, phản xạ đi qua M b, Có bao nhiêu tia sáng từ S đi qua M? Đối với bài toán này giáo viên có thể hớng dẫn học sinh tìm ra 2 cách giải : Cách 1 : Vì tia tới gơng xuất phát từ điểm S nên tia phản xạ của nó sẽ có đờng kéo dài đi qua ảnh ảo S của S qua gơng. Mặt khác theo yêu cầu của đề ra tia phản xạ phải đi qua M do đó tia phản xạ vừa đi qua S và M nên ta suy ra cách vẽ : + Vẽ ảnh S của S qua gơng + Nối S với M cắt gơng tại I thì I là điểm tới + Nối SI thì SI là tia tới, IM là tia phản xạ. Cách 2 : a, Muốn tia phản xạ đi qua M thì tia tới gơng phải đi qua M là ảnh của M qua g- ơng. Mặt khác tia tới xuất phát từ S nên ta có cách dựng nh sau : + Vẽ ảnh M của M qua gơng + Nối M với S cắt gơng tại I thì SI là tia tới và IM là tia phản xạ cần vẽ b, Có 2 tia sáng từ S qua M + Tia 1 : Tia truyền trực tiếp từ S đến M + Tia 2 : Tia xuất phát từ S chiếu đến gơng sau đó phản xạ đi qua M (hình vẽ bên) Giáo viên yêu cầu vẽ 2 cách trên 1 hình vẽ từ đó học sinh biết đợc 3 S M IH S S M M' I 2 cách vẽ đó trùng nhau. * Từ 2 cách giải bài tập cơ bản đối với 1 gơng ta có thể phát triển dạng bài tập đó áp dụng cho hệ 2 gơng (có thể vuông góc với nhau, song song với nhau hoặc hợp với nhau 1 góc nào đó) và hệ 3, 4 gơng kết hợp thêm các câu có liên quan đến chứng minh hoặc tính toán một số đại lợng góc hoặc độ dài đờng đi các tia sáng. Bài 2 : Cho 2 gơng phẳng G 1 và G 2 vuông góc với nhau, S là một điểm sáng, M là một điểm cho trớc 2 gơng (hình vẽ) a, Nêu cách vẽ một tia sáng xuất phát từ S, chiếu đến gơng G 1 rồi phản xạ đến gơng G 2 , sau đó phản xạ đi qua M. Có phải bài toán bao giờ cũng giải đợc không? b, Chứng minh rằng tia tới gơng G 1 song song với tia phản xạ ở gơng G 2 . Có bao nhiêu tia sáng từ S chiếu đến M. Hãy vẽ các tia sáng đó. Hớng dẫn tìm ra phơng pháp giải : Câu a : Cách 1 : - Vẽ ảnh S của M qua gơng G 1 - Vẽ ảnh M của M qua gơng G 2 - Nối S với M cắt G 1 tại I, cắt G 2 tại K thì I và K là 2 điểm tới ở 2 gơng - Nối SI, IK, KM thì SIKM là đờng đi của tia sáng cần vẽ. Cách 2 : * Cách vẽ : - Vẽ ảnh S của S qua gơng G 1 - Vẽ ảnh S của S qua gơng G 2 - Nối S với M cắt gơng G 2 tại K - Nối S với K cắt G 1 tại I thì SIKM là đờng đi của tia sáng cần vẽ. Bài toán chỉ giải đợc khi S và M ở vị trí sao cho đờng nối 2 ảnh S và M cắt 2 g- ơng tại 2 điểm phân biệt. Nếu SM không cắt 2 gơng (hoặc cắt tại O) thì bài toán không giải đợc. Câu b : Có thể có nhiều cách chứng minh (việc chứng minh này nhằm mục đích phát triển vận dụng vào những bài tập khó hơn). * Cách chứng minh đơn giản nhất : 4 G 2 S G 1 S M M K N I O S H 1 2 1 2 - Kẻ pháp tuyến của 2 gơng I và K cắt nhau tại N. Do 2 gơng vuông góc với nhau nhên IN vuông góc với KN => INK = 90 0 Nên I 2 + K 1 = 90 0 mà I 1 = I 2 K 1 = K 2 (Định luật phản xạ ánh sáng) => SIK + IKM = I 1 + I 2 + K 1 + K 2 = 180 0 Do đó SI // KM Câu c : Từ câu b của bài tập 1 học sinh dễ dàng phát hiện ra có 4 tia sáng đi qua từ S đến M. Ta có thể mở rộng bài tập dạng 2 qua các bài nh sau : Bài 2b : Hai gơng phẳng AB, CD đặt vuông góc với mặt đất, quay mặt phản xạ vào nhau, cách nhau 1 khoảng BD = a, CD có chiều cao CD = H. Nguồn sáng điểm S đặt cách mặt đất 1 khoảng h và cách AB một khoảng b. 1, Xác định chiều cao tối thiểu (tính từ mặt đất) của gơng AB để tia sáng tới từ S đến AB sau khi phản xạ sẽ đi đến mép C của gơng CD 2, Quay gơng AB quanh điểm B một góc an pha sao cho tia tới từ S đến vuông góc với AB khi phản xạ sẽ đi qua C. Tính an pha? áp dụng số H = 1,8 mét; h = 0,8 mét; a = 35,1 mét; b = 35,0 mét. Bài 3 : Bốn gơng phẳng đặt cách nhau nh HV, vẽ đờng đi của tia sáng từ A phản xạ lần lợt trên 4 gơng phẳng G 1 , G 2 , G 3 , G 4 (Mỗi gơng một lần) rồi đi qua điểm B. Dạng 3 : Bài tập về cách xác định vùng nhìn thấy ảnh của một điểm sáng, vật sáng qua gơng phẳng. Bài 1 : Một điểm sáng S đặt trớc gơng phẳng AB. Dùng phép vẽ để xác định vùng đặt mắt để nhìn thấy ảnh của S tạo bởi gơng. * Cách giải : Từ S vẽ chùm tia tới lớn nhất đến gơng SM, SN vẽ chùm tia phản xạ tơng ứng MP 1 và NP 2 . Miền không gian giới hạn 5 A S C H DB b h G 1 A . B . G 2 G 3 G 4 P 2 P 1 S N S M bởi 2 tia phản xạ MP 1 và NP 2 ở trớc mặt gơng là miền đặt mắt để nhìn thấy ảnh S của S qua gơng. Từ bài tập cơ bản này ta mở rộng các bài tập khó hơn. Bài 2 : Cho gơng phẳng GG và một vật sáng AB đặt trớc gơng (hình vẽ). Hãy xác định (bằng cách vẽ hình) phạm vi không gian mà trong đó ta có thể nhìn thấy đợc toàn bộ ảnh của vật qua gơng đó. H ớng dẫn giải : Muốn nhìn thấy ảnh của toàn bộ vật AB thì phải nhìn thấy ảnh của cả 2 điểm A và B qua gơng. Vì vậy ta phải đi xác định vùng nhìn thấy ảnh A của A qua gơng và vùng nhìn thấy ảnh B của B qua gơng. Giao của 2 vùng đó có thể nhìn thấy đồng thời ảnh của cả A và B qua gơng nghĩa là nhìn thấy toàn bộ ảnh AB của AB qua gơng. * Bài tập t ơng tự : Bài 3 : Hai ngời A và B đứng trớc gơng phẳng nh (hình vẽ). Trong đó MH = NH = 50 cm, NK = 100 cm, AH = h = 100cm. a, A và B có nhìn thấy nhau trong gơng không? b, Một trong 2 ngời đi dần đến gơng theo phơng vuông góc với mặt gơng thì khi nào họ nhìn thấy nhau trong gơng. c, Nếu cả 2 ngời đi dần đến gơng nh nhau theo phơng vuông góc với mặt gơng thì họ có nhìn thấy nhau trong gơng không? Kết quả này không phụ thuộc vào khoảng cách từ ngời đến gơng. Dạng 4 : Bài tập về quỹ tích của ảnh của một điểm sáng khi cho gơng quay Bài 1 : Một điểm sáng S đặt trớc gơng phẳng G nh hình vẽ. Nếu quay gơng quanh O về phía S một góc anpha thì ảnh của S sẽ di chuyển trên đờng có hình dạng nh thế nào? và dài bao nhiêu. Biết SO = l. áp dụng bằng số : = 30 0 , l = 10 cm. Giải : Vì ảnh S của S qua gơng đối xứng 6 B A G A t B x y G z H M N K BA h G 1 S O H S G 2 H S với S qua gơng nên khi gơng ở vị trí OG 1 ta có SH = S'H => OS = OS và SOH = SOH hay SOS = 2 SOH (1). Nếu gơng quay đi một góc an pha về phía S thì ảnh S của S qua gơng cũng đối xứng với S qua gơng ta có : SH = SH => OS = OS và SOH = HOS hay SOS = 2 SOH (2) Vì vậy khi gơng quay quanh O ta luôn có : OS = OS = OS = OS = . (Trong đó S , S , S . là ảnh của S qua g ơng khi gơng quay quanh O). Hay khi gơng quay quanh O thì ảnh của S qua gơng chạy trên cung tròn tâm O bán kính OS = l. Từ (1) và (2) ta suy ra : SOS - SOS = SOS = 2 SOH - 2 SOH = 2 . Vậy khi gơng quay quanh O thì ảnh của S qua gơng chạy trên cung tròn tâm O bán kính OS = l và góc ở tâm là 2 = SOS do đó độ dài cung tròn SS là : SS = 0 2 . . 2 360 l áp dụng bằng số : = 30 0 => 2 = 60 0 => SS = 0 0 2 . 60 l 3,14 . 10 = = 10, 26 (cm) 360 3 3 l Qua bài toán này giáo viên khắc sâu cho học sinh : Một điểm sáng S cố định đặt trớc 1 gơng phẳng nào đó. Khi cho gơng quay quanh một điểm cố định O thì ảnh của S qua gơng sẽ chạy trên đờng tròn tâm O, bán kính OS. Từ bài tập trên ta phát triển, vận dụng để giải bài tập khó hơn nh sau : Bài 2 : Trên hình vẽ sau : S là một điểm sáng cố định nằm trớc 2 gơng phẳng G 1 và G 2 . G 1 quay quanh I 1 , G 2 quay quanh I 2 (I 1 và I 2 cố định). Biết SI 1 I 2 = , SI 2 I 1 = . Gọi ảnh của S qua G 1 là S 1 , qua G 2 là S 2 . Tính góc hợp bởi mặt phản xạ của 2 gơng sao cho S 1 S 2 là : a, Nhỏ nhất b, Lớn nhất. Cách giải : Theo kết quả bài trên khi gơng G 1 quay quanh I 1 thì ta luôn có I 1 S = I 1 S 1 hay ảnh S 1 luôn cách đều I 1 (vì S, I 1 cố định nên I 1 S không đổi). Hay 7 S 2 O S 1 I 1 G 1 S G 2 I 2 x x khi đó S 1 chạy trên đờng tròn tâm I 1 bán kính I 1 S. a, S 1 S 2 sẽ nhỏ nhất khi S 1 S 2 = O hay S 1 = S 2 . Khi đó mặt phẳng 2 gơng trùng nhau, do đó góc hợp bởi 2 gơng = 180 0 b, S 1 S 2 lớn nhất khi S 1 và S 2 nằm ở hai đầu đờng nối tâm của hai đờng tròn khi đó I 1 và I 2 là hai điểm tới của tia sáng trên gơng (hình vẽ) hay SI 1 là tia tới G 1 và I 1 I 2 là tia phản xạ ở G 1 và là tia tới G 2 . Gọi giao điểm của đờng kéo dài 2 gơng là O thì I 2 I 1 O = 90 0 2 I 1 I 2 O = 90 0 2 . Do đó góc hợp bởi 2 gơng là : = 180 0 - I 2 I 1 O - I 1 I 2 O = 180 0 (90 0 2 ) (90 0 2 ) hay + = 2 Dạng 5 : Xác định vận tốc của ảnh qua gơng, vận tốc góc của gơng khi vật chuyển động đối với gơng hoặc khi gơng chuyển động. Bài 1 : Một điểm sáng S cố định nằm trên đờng thẳng SH vuông góc với một gơng phẳng G (hình vẽ ). Xác định vận tốc v của ảnh của điểm S qua gơng khi g- ơng chuyển động theo phơng HS với vận tốc v (gơng luôn luôn song song với chính nó). Cách giải : - Khi gơng ở vị trí (1) ảnh của S là S 1 nên ta có SH = S 1 H => SS 1 = 2 SH (1) - Khi gơng ở vị trí (2) ảnh của S là S 2 nên ta có SH =S 2 H = SS 2 = 2 SH (2) Trừ (1) cho (2) vế với vế ta có : SS 1 SS 2 = 2(SH SH) <=> S 1 S 2 = 2HH => v. t = 2 v.t => v = 2v Qua bài tập này giáo viên khắc sâu cho học sinh : Muốn tìm vận tốc chuyển động của ảnh qua gơng khi gơng chuyển động (hoặc khi vật chuyển động) ta chỉ cần tìm mối quan hệ giữa quảng đờng đi đợc của ảnh với quảng đờng đi đợc của gơng (hoặc của vật) trong cùng một thời gian nh nhau. Bài 2 : Mặt trời vừa nhô lên trên dãy núi. Trên con đờng bằng phẳng, một chú mèo đi xe đạp với vận tốc v o . ở cách đờng một khoảng r và cách chú mèo một khoảng L, 2 chú chuột tinh nghịch dùng gơng phẳng để hắt tia sáng mặt trời vào 8 Chuột Đường Mèo r S 1 S 2 H H S (2) (1) thẳng mắt mèo. Hỏi hai chú chuột phải quay gơng với vận tốc góc là bao nhiêu để luôn làm chói mắt mèo. Chú ý : Vận tốc góc = t ; là góc quay trong khoảng thời gian nhỏ t H ớng dẫn giải : Giả sử sau khoảng thời gian nhỏ t gơng phẳng quay một góc thì tia phản xạ của tia tới cố định sẽ quay một góc 2 = Trong thời gian này chú mèo đi đợc quảng đờng MA = v o t Ta đã biết cung tròn dài l chắn một góc ở tâm bằng l/R với R là bán kính đờng tròn. Vậy theo hình vẽ trên với góc nhỏ ta có : 0 v cos AH = = (1) CM L t Thay Cos CB r = = CM L vào (1) ta đợc : 0 2 v . = = 2 (*) L t r Theo định nghĩa vận tốc góc = t với là góc quay nhỏ trong khoảng thời gian nhỏ t . Từ (*) => 0 2 v = 2 r L * Bài tập t ơng tự : Bài 3 : Một ngời đứng trớc một gơng phẳng. Hỏi ngời đó có thấy ảnh của mình trong gơng chuyển động với vận tốc bằng bao nhiêu khi : a, Gơng lùi ra xa theo phơng vuông góc với mặt gơng với vận tốc v = 0,5 m/s b, Ngời đó tiến lại gần gơng với vận tốc v = 0,5 m/s Bài 4 : Một ngời ngồi trên một tàu hoả quay mặt về phía trớc nhìn vào một chiếc gơng phẳng treo thẳng đứng có mặt phản xạ vuông góc với phơng chuyển động của tàu. Gơng cách ngời đó một khoảng L = 2m. a, Ngời đó nhìn thấy trong gơng một ảnh cách mình a = 5m của một hành khách ngồi phía sau. Hỏi hành khách kia cách ngời đó mấy mét? b, Tàu chuyển động với vận tốc v = 45 km/h. Hỏi ngời đó có cảm thấy ảnh của hàng cây ven đờng chạy với vận tốc là bao nhiêu? * Dạng bài tập này ta có thể ra dới hình thức trắc nghiệm, nhng để chọn đợc ph- ơng án đúng sai thì học sinh cũng phải vẽ hình và tính toán đợc vận tốc hoặc quãng đ- 9 M A B C H ờng ảnh đi đợc khi biết vận tốc hoặc quảng đờng mà gơng hoặc vật chuyển động nh đã nêu ở trên. Dạng 6 : Bài tập về cách vẽ ảnh và xác định số ảnh qua hệ gơng Bài 1 : Một điểm sáng S đặt trên đờng phân giác của góc hợp bởi 2 gơng phẳng là a, Vẽ ảnh và xác định số ảnh của S tạo bởi 2 gơng khi = 120 0 , = 90 0 , = 60 0 b, Tìm số ảnh trong trờng hợp 0 360 = n với n là một số nguyên. Giải : a, Khi = 120 0 - Vật S cho ảnh S 1 qua G 1 đối xứng với S qua G 1 nên SOS 1 = 60 0 + 60 0 = 120 0 => S 1 nằm trên mặt phẳng của G 2 nên không cho ảnh tiếp nữa. - Tơng tự S cho ảnh S 2 qua G 2 đối xứng với S qua G 2 nên SOS 2 = 120 0 . Do đó S 2 nằm trên mặt phẳng của G 1 nên không cho ảnh tiếp nữa.Vậy hệ cho 2 ảnh. Nhận xét : + Ta thấy S, S 1 , S 2 nằm trên một đờng tròn và chia thành 3 phần bằng nhau. * Khi = 90 0 - Vật S cho ảnh S 1 qua G 1 đối xứng với S qua G 1 nên OS = OS 1 => S 1 OS = 90 0 - S 1 nằm trớc G 2 nên cho ảnh S 3 đối xứng với S 1 qua G 2 , 3 nằm sau 2 gơng nên không cho ảnh tiếp nữa. - Vật S cho ảnh S 2 qua G 2 , S 2 nằm trớc G 1 nên cho ảnh S 4 trùng với S 3 , đều nằm sau 2 gơng nên không cho ảnh tiếp nữa. Ta có : OS = OS 1 = OS 2 = OS 3 hay các ảnh và S nằm trên đờng tròn tâm O, bán kính OS và chia đờng tròn thành 4 phần bằng nhau. Vậy hệ cho 3 ảnh. Tơng tự khi góc = 60 0 ta vẽ đợc 5 ảnh và S tạo thành 6 đỉnh của lục giác đều nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính OS. 10 G 1 S 2 G 2 G 1 S 1 O S S 3 = S 4 S 1 S S 2 G 2 G 1 O . những bài tập ở mức độ cao hơn và từ những bài tập cơ bản đó mở rộng thành những bài tập khó hơn, tổng quát hơn. Phân dạng và mở rộng một số bài tập về gơng. Đề tài khai thác một phần kiến thức hẹp về gơng phẳng trong chơng trình Vật lý THCS nhằm phân dạng và mở rộng một số bài tập về gơng phẳng. Hy vọng nó

— Xem thêm —

Xem thêm: Phân dạng và mở rộng một số bài tập về gương phẳng, Phân dạng và mở rộng một số bài tập về gương phẳng, Phân dạng và mở rộng một số bài tập về gương phẳng

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.0575151443481 s. Memory usage = 13.95 MB