Các dạng bài tập tích phân

VinhNguyen
VinhNguyen(17960 tài liệu)
(141 người theo dõi)
Lượt xem 36
2
Tải xuống
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 60 | Loại file: DOC
0

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/08/2013, 20:16

Mô tả: Tài liệu tham khảo các dạng bài tập liên quan đến các vấn đề trong tích phân. Đây là các dạng bài tập tích phân được trình bày theo hình thức tiếng Anh. Chapter 5e Integral of Irrational Function 8/ 2 5 * 6 7 9 11 12 * 13 * 14 * 15 17 * 18 * .19 .20 22 22 23 25 27 .28 .29 .31 32 .33 36 37 37 38 38 39 39 39 40 41 42 42 43 44 * .44 45 46 47 47 1 48 49 50 51 52 52 55 56 58 .58 59 8/ ( ) 2 dx I x q ax bx c = − + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx 1 dt 1 Put x q dx , t t x q t x q ax bx c 1 1 1 2q 1 ax bx c a q b q c a q b q c t t t t t a b 2aq 1 aq bq c a t b 2aq t aq bq c t t t − = ⇒ = − = − − + +         + + = + + + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         + = + + + + = + + + + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt dx t 1 1 x q ax bx c a t b 2aq t aq bq c t t dt dt t 1 a t b 2aq t aq bq c t aq bq c t b 2aq a t − ⇒ = − + + + + + + + − = = − + + + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt Put aq bq c A, b 2aq 1 a t t aq bq c aq bq c aq bq c dt b 2aq b 2aq 1 a t A 2A A 4A b 2aq b 2q 4Aa b 2aq a Put t y dy dt, N 2A A 4A 4 aq bq c = − + + =   +  ÷ + +  ÷ + + + + + +  ÷   = −   + +    ÷ + + −  ÷  ÷     + + − +  + = ⇒ = = − =  ÷   + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy Ady I If N 0 N n 4Aa b 2aq , y N y N A 4Aa b 2aq 4a a.q b.q c b 4abq 4 aq 4ac b b c b A 0 A m a.q b.q c 0 a q 0 2a a 4 b 4ac b a q a 0 2a 4 = − = − ≥ ⇒ = ⇒ ≥ + + + ≥ + ⇔ + + ≥ + + ⇔ ≥       > ⇒ = ⇒ + + ≥ ⇔ + + − ≥  ÷         −     ⇔ + + ⇔ >  ÷       ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 m.dy I m.ln y y n y n B 1 b 2q y t 2A x q 2 aq bq c   ⇒ = − = − + +  ÷   + +   = + = +  ÷ −   + + ∫ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2aq b 2aq b 2aq a a y n t t t 2A A 4A aq bq c aq bq c t aq bq c t b 2aq a aq bq c t aq bq c t b 2aq a t t aq bq c   + + +   ÷ + = + + − = + +  ÷  ÷   + + + +  ÷   + + + + + = + +   + + + + +  ÷ =  ÷ + +  ÷   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t aq bq c t b 2aq a * t 1 2q 1 1 1 a q b q c a q b q c t t t t t ax bx c ax bx c y n x q aq bq c 1 1 x q t t x q + + + + +         = + + + + + = + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         + + = + + ⇒ + = − + +   = + ⇒ =  ÷ −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ln y y n dx I 1 x q ax bx c aq bq c 1 b 2aq 1 ax bx c ln aq bq c x q x q 2 aq bq c aq bq c   + +  ÷   ⇒ = = − − + + + +     + + +  ÷  ÷ = − + + + +  ÷  ÷ − − + + + +  ÷  ÷     ∫ 4 ( ) 2 dx * I x 1 1 x = − − ∫ ( ) 2 2 2 2 2 dx 1 * I Put : x 1 t x 1 1 x dt 1 1 2t dx 1 x 1 1 t t t = − = − − − +   ⇒ = − = − + = −  ÷   ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 dt dt t I 1 2t 1 2t t. t because1 x 0 x 1 x 1 0 t 0 t t d 2t 1 1 2t 1 1 2 1 x I 1 2t 1 C 1 2 2 x 1 1 x 1 2t 1 2 − + ⇒ = − = − − − − − > ⇔ < ⇒ − < ⇒ < ⇔ = − − − − − − = − = − = − − − = − − − = − + − + − − − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3x 4 VD : dx x 6x 8 1 x 3 x 6x 8 Put x 3 t x t 3 dx dt 3 3 t 4 3x 4 dx dx x 6x 8 1 t d 1 t 3t.dt dt 3 13 13arcsin t 2 1 t 1 t 1 t d 1 t 2t.dt 3 1 t 13arcsin t 3 x 6x 8 13arcsin x 3 C + − + − = − − − + − − = ⇒ = + ⇒ = + + + = − + − − − = + = − + − − − − = − = − − + = − − + − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ For evaluating integral 2 R x, ax bx c   + +  ÷   ∫ we can make a trigonometric change of variables: 5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c b ax bx c a x 2a a 4a b b 4ac a x a u d If b 4ac 0, a 0 2a 4a b 4ac b a x a u d If b 4ac 0, a 0 2a 4a b 4ac b a x a d u If b 4ac 0, a 0 2a 4a      ÷ + + = + + −  ÷  ÷       −    ÷ = + − = − − > >  ÷  ÷       −    ÷ = + + = + − < >  ÷  ÷       −    ÷ = − − + = − − − > <  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 2 2 2 d R x, ax bx c R u, u d Put u sin t R x, ax bx c R u, d u Put u d.sin t R x, ax bx c R u, u d Put u d.tgt     + + = − =  ÷  ÷         + + = − =  ÷  ÷         + + = + =  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * ( ) ( ) 3 2 x 2 3 dx 1 I sin arctan C 3 3 x 4x 7   + = = +  ÷  ÷   + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 dx du * I x 4x 7 x 2 3 Put u x 2 I x 4x 7 u 3 3 3 Put u 3.tan t du , u 3 3 tan t 1 cos t cos t x 2 3 3.cos t.dt sin t 1 u 3 1 I sin arctan sin arctan 3 3 3 3 3 cos t. 3 = + + = + + = + ⇒ = + + + = ⇒ = + = + =     + ⇒ = = = =  ÷  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ 6 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 b x dx 4a 2a * I sin arctan with a 0, 4ac b 0 a. 4ac b 4ac b ax bx c a      ÷ +  ÷  ÷   = = > − ≥  ÷ − −  ÷ + +  ÷   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 dx b 4ac b * I a 0, 4ac b 0 ax bx a a x 2a 4a ax bx c b 4ac b 1 du Put u x , m I , 2a a. a 4a u m m.dt m Put u m.tan t du , u m m tan t 1 cos t cos t     −     = > − ≥ + + = + +  ÷  ÷  ÷         + +   − = + = ⇒ =  ÷  ÷   + = ⇒ = + = + = ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 du 1 m.dt 1 cos t.dt 1 sin t I . a. a a. a a. a a. a.m cos t. m m u m cos t. cos t b x 1 u 4a 2a sin arctan sin arctan m 4ac b a. 4ac b 4ac b a. a. 4a a ⇒ = = = =   +  ÷        ÷ +  ÷  ÷     = =  ÷  ÷     − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) c 1 2 3 c 2b b 2a 2a 2 2 c b x dx 4a 2a I lim .sin arctan m a. 4ac b ax bx c b c 4a 4a 2a . lim sin arctan m a. 4ac b a. 4ac b +∞ →+∞ − − →+∞       +  ÷    ÷      ÷ ⇒ = =    ÷ − + +  ÷           +  ÷  ÷    ÷ = =  ÷ − −  ÷   ∫ 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 n 2 2 2 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 n n n 2 2 2 dx b 4ac b * I a 0, 4ac b 0 ax bx a a x 2a a ax bx c b 4ac b 1 du Put u x , m I , 2a a a u m m.dt m Put u m.tan t du , u m m tan t 1 cos t cos t 1 du 1 m.dt I m a a u m cos t. cos t     −     = > − ≥ + + = + +  ÷  ÷  ÷         + +   − = + = ⇒ =  ÷  ÷   + = ⇒ = + = + = ⇒ = = + ∫ ∫ ∫ ( ) n 2 n n 1 n cos t .dt 1 m a − − =    ÷   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) n 2 2 n 1 n n 2 2 2 2 cos t .dt dx 1 * I a 0, 4ac b 0 m a ax bx c 4ac b b u m , u x , t arctan 2a m a − − = = > − ≥ + +   − = = + =  ÷  ÷   ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 b x dx 1 dt t 1 2a n 2 : I arctan a m a.m ax bx c 4ac b 4ac b a. 4a 4a 2 2ax b arctan 4ac b 4ac b      ÷  ÷ +  ÷  ÷ = = = = =  ÷  ÷ + +  ÷ − −  ÷  ÷  ÷         +  ÷  ÷ =  ÷  ÷ − −     ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 dx 1 1 1 cos 2t n 4 : I cos t .dt .dt 2 a .m a .m ax bx c 1 sin 2t 1 u 1 u t arctan .sin 2.arctan 2 m 2 m 2a .m 2a .m b x u 0, x u 2a + = = = = + +           = + = +    ÷  ÷  ÷  ÷           = − ⇒ = = +∞ ⇒ = +∞ ∫ ∫ ∫ 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 0 b/2a 3/2 3/2 2 2 2 2 2 3 3/2 2 dx 1 u 1 u . arctan .sin 2.arctan m 2 m 2a .m ax bx c 1 sin 1 sin . . 2 2 2 2 4ac b 4ac b 2a . 2a . 4a 2a 4a sin . 2 2 4ac b +∞ +∞ −         ⇒ = +    ÷  ÷  ÷         + + π π π π     = + = +  ÷  ÷       − −  ÷  ÷   π π   = +  ÷   − ∫ ( ) ( ) 3 n 3/2 2 n 2 2 i 1 c c.n b * lim 1 sin arctan 2 4ac b a i.c b.n.i.c n c →+∞ = →+∞      ÷  ÷ = −  ÷  ÷ −     + + ∑ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) i i i 3 2 i i 3 n n 2 3/2 3 n n 2 2 2 i 1 i 1 2 c c 2 n 3/2 n n 2 i 1 c c 1 c i.c Put f x , x 0, c , x , x n n ax bx c c.n c 1 I lim lim n a i.c b.n.i.c n c a i.c b.n.i.c n c n c 1 lim lim n i.c i.c a b c n n →+∞ →+∞ = = →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = →+∞ →+ = ∈ ∆ = = + + ⇒ = =   + + + +  ÷  ÷   = =        ÷ + +  ÷  ÷  ÷       ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) c n i 3/2 c 2 i 1 0 2 dx f x . x lim ax bx c b 1 sin arctan 2 4ac b →+∞ = ∞ ∆ = + +      ÷  ÷ = −  ÷  ÷ −     ∑ ∫ ( ) p m n x a bx dx+ ∫ with m, n, p is rational number. The Russian mathematicant Trebushep prove that the upper integral only can be expressed in elementary function in 3 follow cases: 1/ p is an interger, when that, put s x t= with s is the least common multiple of m, n. 2/ m 1 n + is an interger, put s s a bx t+ = with s is the denominator of p. 3/ m 1 p n + + is an interger, put n s ax b t − + = with s is the denominator of p. 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 1 2 4 10 4 4 3 3 10 10 9 10 2 8 9 8 9 4 4 dx Ex : I x x 1 x x 1 So p 10 is a interger, we have case 1/ Put x t dx 4t .dt t 1 1 d t 1 d t 1 4t .dt I 4 dt 4 t t 1 t 1 t 1 t 1 4 4 1 4 8 t 1 9 t 1 2 x 1 9 x 1 − −    ÷ = = +  ÷  ÷ +   = − = ⇒ =   + − + +  ÷ ⇒ = = = −  ÷ + + + +   − − = + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p m n p a a 1 m.a n.a a 1 p p i a m 1 1 n.a.i a m 1 1 i n.a p i i i p i p p i 1 i 1 * I x . a b.x .dx where p is a interger Put x t dx a.t .dt I a t . a b.t .t .dt I a t . C b.t .a .dt a C t .b a .dt Put n.a.i a m 1 1 c − − + − + + − − − = = = + = ⇒ = ⇒ = +             = =  ÷  ÷  ÷  ÷             + + − = ⇒ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ i c 1 i p i p p p i c i p i p i 1 i 1 C t .b a I a C t .b a .dt a. c 1 + − − = =       = =  ÷  ÷ +       ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i n.i m 1 i p i i n.i m 1 i p i p p p p p m n i 1 i 1 1 i n.i m 1 i p i i i p i 1 p p p p p m n 1 i 1 i 1 0 0 C x .b a C x .b a I x . a b.x .dx a. a n.i m 1 n.i m 1 C x .b a C .b a I x . a b.x .dx n.i m 1 n.i m 1 + + − + + − = = + + − − = = = + = = + + + +     ⇒ = + = = + + + +     ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ 10

— Xem thêm —

Từ khóa: bài tập tích phâncác dạng tích phânhọc toán tích phântài liệu toán tích phânôn tập toán tích phân

Xem thêm: Các dạng bài tập tích phân , Các dạng bài tập tích phân , Các dạng bài tập tích phân

Gửi bình luận

Bình luận
Lên đầu trang
  • nguyentrungknm
    nguyentrungknm · Vào lúc 07:42 am 23/08/2013
    Tks tác giả nhiều, đang cần cái này lắm ^^
  • An Nhiên
    An Nhiên · Vào lúc 05:52 pm 08/12/2013
    Tài liệu này quá hay và quá bổ ích... cảm ơn bạn rất nhìu ^^
  • Hòn Mốc
    Hòn Mốc · Vào lúc 02:11 am 16/12/2013
    Cảm ơn bạn! mình đang cần tài liệu này!
  • Hòn Hâm
    Hòn Hâm · Vào lúc 11:34 pm 19/12/2013
    Tài liệu hữu ích quá, up lên cho bạn nào chưa biết nhé
  • fresh boy 19
    fresh boy 19 · Vào lúc 03:51 am 28/12/2013
    Cảm ơn bạn về tài liệu quý báu này!
Xem thêm
Đăng ký

Generate time = 0.0723400115967 s. Memory usage = 13.39 MB