Các dạng bài tập tích phân

Mặc Kệ Mi
Mặc Kệ Mi(17868 tài liệu)
(181 người theo dõi)
Lượt xem 105
2
Tải xuống 2,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 60 | Loại file: DOC
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 16/08/2013, 20:16

Mô tả: Tài liệu tham khảo các dạng bài tập liên quan đến các vấn đề trong tích phân. Đây là các dạng bài tập tích phân được trình bày theo hình thức tiếng Anh. Chapter 5e Integral of Irrational Function 8/ 2 5 * 6 7 9 11 12 * 13 * 14 * 15 17 * 18 * .19 .20 22 22 23 25 27 .28 .29 .31 32 .33 36 37 37 38 38 39 39 39 40 41 42 42 43 44 * .44 45 46 47 47 1 48 49 50 51 52 52 55 56 58 .58 59 8/ ( ) 2 dx I x q ax bx c = − + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx 1 dt 1 Put x q dx , t t x q t x q ax bx c 1 1 1 2q 1 ax bx c a q b q c a q b q c t t t t t a b 2aq 1 aq bq c a t b 2aq t aq bq c t t t − = ⇒ = − = − − + +         + + = + + + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         + = + + + + = + + + + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt dx t 1 1 x q ax bx c a t b 2aq t aq bq c t t dt dt t 1 a t b 2aq t aq bq c t aq bq c t b 2aq a t − ⇒ = − + + + + + + + − = = − + + + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt Put aq bq c A, b 2aq 1 a t t aq bq c aq bq c aq bq c dt b 2aq b 2aq 1 a t A 2A A 4A b 2aq b 2q 4Aa b 2aq a Put t y dy dt, N 2A A 4A 4 aq bq c = − + + =   +  ÷ + +  ÷ + + + + + +  ÷   = −   + +    ÷ + + −  ÷  ÷     + + − +  + = ⇒ = = − =  ÷   + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy Ady I If N 0 N n 4Aa b 2aq , y N y N A 4Aa b 2aq 4a a.q b.q c b 4abq 4 aq 4ac b b c b A 0 A m a.q b.q c 0 a q 0 2a a 4 b 4ac b a q a 0 2a 4 = − = − ≥ ⇒ = ⇒ ≥ + + + ≥ + ⇔ + + ≥ + + ⇔ ≥       > ⇒ = ⇒ + + ≥ ⇔ + + − ≥  ÷         −     ⇔ + + ⇔ >  ÷       ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 m.dy I m.ln y y n y n B 1 b 2q y t 2A x q 2 aq bq c   ⇒ = − = − + +  ÷   + +   = + = +  ÷ −   + + ∫ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2aq b 2aq b 2aq a a y n t t t 2A A 4A aq bq c aq bq c t aq bq c t b 2aq a aq bq c t aq bq c t b 2aq a t t aq bq c   + + +   ÷ + = + + − = + +  ÷  ÷   + + + +  ÷   + + + + + = + +   + + + + +  ÷ =  ÷ + +  ÷   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t aq bq c t b 2aq a * t 1 2q 1 1 1 a q b q c a q b q c t t t t t ax bx c ax bx c y n x q aq bq c 1 1 x q t t x q + + + + +         = + + + + + = + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         + + = + + ⇒ + = − + +   = + ⇒ =  ÷ −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ln y y n dx I 1 x q ax bx c aq bq c 1 b 2aq 1 ax bx c ln aq bq c x q x q 2 aq bq c aq bq c   + +  ÷   ⇒ = = − − + + + +     + + +  ÷  ÷ = − + + + +  ÷  ÷ − − + + + +  ÷  ÷     ∫ 4 ( ) 2 dx * I x 1 1 x = − − ∫ ( ) 2 2 2 2 2 dx 1 * I Put : x 1 t x 1 1 x dt 1 1 2t dx 1 x 1 1 t t t = − = − − − +   ⇒ = − = − + = −  ÷   ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 dt dt t I 1 2t 1 2t t. t because1 x 0 x 1 x 1 0 t 0 t t d 2t 1 1 2t 1 1 2 1 x I 1 2t 1 C 1 2 2 x 1 1 x 1 2t 1 2 − + ⇒ = − = − − − − − > ⇔ < ⇒ − < ⇒ < ⇔ = − − − − − − = − = − = − − − = − − − = − + − + − − − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3x 4 VD : dx x 6x 8 1 x 3 x 6x 8 Put x 3 t x t 3 dx dt 3 3 t 4 3x 4 dx dx x 6x 8 1 t d 1 t 3t.dt dt 3 13 13arcsin t 2 1 t 1 t 1 t d 1 t 2t.dt 3 1 t 13arcsin t 3 x 6x 8 13arcsin x 3 C + − + − = − − − + − − = ⇒ = + ⇒ = + + + = − + − − − = + = − + − − − − = − = − − + = − − + − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ For evaluating integral 2 R x, ax bx c   + +  ÷   ∫ we can make a trigonometric change of variables: 5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c b ax bx c a x 2a a 4a b b 4ac a x a u d If b 4ac 0, a 0 2a 4a b 4ac b a x a u d If b 4ac 0, a 0 2a 4a b 4ac b a x a d u If b 4ac 0, a 0 2a 4a      ÷ + + = + + −  ÷  ÷       −    ÷ = + − = − − > >  ÷  ÷       −    ÷ = + + = + − < >  ÷  ÷       −    ÷ = − − + = − − − > <  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 2 2 2 d R x, ax bx c R u, u d Put u sin t R x, ax bx c R u, d u Put u d.sin t R x, ax bx c R u, u d Put u d.tgt     + + = − =  ÷  ÷         + + = − =  ÷  ÷         + + = + =  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * ( ) ( ) 3 2 x 2 3 dx 1 I sin arctan C 3 3 x 4x 7   + = = +  ÷  ÷   + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 dx du * I x 4x 7 x 2 3 Put u x 2 I x 4x 7 u 3 3 3 Put u 3.tan t du , u 3 3 tan t 1 cos t cos t x 2 3 3.cos t.dt sin t 1 u 3 1 I sin arctan sin arctan 3 3 3 3 3 cos t. 3 = + + = + + = + ⇒ = + + + = ⇒ = + = + =     + ⇒ = = = =  ÷  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ 6 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 b x dx 4a 2a * I sin arctan with a 0, 4ac b 0 a. 4ac b 4ac b ax bx c a      ÷ +  ÷  ÷   = = > − ≥  ÷ − −  ÷ + +  ÷   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 dx b 4ac b * I a 0, 4ac b 0 ax bx a a x 2a 4a ax bx c b 4ac b 1 du Put u x , m I , 2a a. a 4a u m m.dt m Put u m.tan t du , u m m tan t 1 cos t cos t     −     = > − ≥ + + = + +  ÷  ÷  ÷         + +   − = + = ⇒ =  ÷  ÷   + = ⇒ = + = + = ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 du 1 m.dt 1 cos t.dt 1 sin t I . a. a a. a a. a a. a.m cos t. m m u m cos t. cos t b x 1 u 4a 2a sin arctan sin arctan m 4ac b a. 4ac b 4ac b a. a. 4a a ⇒ = = = =   +  ÷        ÷ +  ÷  ÷     = =  ÷  ÷     − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) c 1 2 3 c 2b b 2a 2a 2 2 c b x dx 4a 2a I lim .sin arctan m a. 4ac b ax bx c b c 4a 4a 2a . lim sin arctan m a. 4ac b a. 4ac b +∞ →+∞ − − →+∞       +  ÷    ÷      ÷ ⇒ = =    ÷ − + +  ÷           +  ÷  ÷    ÷ = =  ÷ − −  ÷   ∫ 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 n 2 2 2 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 n n n 2 2 2 dx b 4ac b * I a 0, 4ac b 0 ax bx a a x 2a a ax bx c b 4ac b 1 du Put u x , m I , 2a a a u m m.dt m Put u m.tan t du , u m m tan t 1 cos t cos t 1 du 1 m.dt I m a a u m cos t. cos t     −     = > − ≥ + + = + +  ÷  ÷  ÷         + +   − = + = ⇒ =  ÷  ÷   + = ⇒ = + = + = ⇒ = = + ∫ ∫ ∫ ( ) n 2 n n 1 n cos t .dt 1 m a − − =    ÷   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) n 2 2 n 1 n n 2 2 2 2 cos t .dt dx 1 * I a 0, 4ac b 0 m a ax bx c 4ac b b u m , u x , t arctan 2a m a − − = = > − ≥ + +   − = = + =  ÷  ÷   ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 b x dx 1 dt t 1 2a n 2 : I arctan a m a.m ax bx c 4ac b 4ac b a. 4a 4a 2 2ax b arctan 4ac b 4ac b      ÷  ÷ +  ÷  ÷ = = = = =  ÷  ÷ + +  ÷ − −  ÷  ÷  ÷         +  ÷  ÷ =  ÷  ÷ − −     ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 dx 1 1 1 cos 2t n 4 : I cos t .dt .dt 2 a .m a .m ax bx c 1 sin 2t 1 u 1 u t arctan .sin 2.arctan 2 m 2 m 2a .m 2a .m b x u 0, x u 2a + = = = = + +           = + = +    ÷  ÷  ÷  ÷           = − ⇒ = = +∞ ⇒ = +∞ ∫ ∫ ∫ 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 0 b/2a 3/2 3/2 2 2 2 2 2 3 3/2 2 dx 1 u 1 u . arctan .sin 2.arctan m 2 m 2a .m ax bx c 1 sin 1 sin . . 2 2 2 2 4ac b 4ac b 2a . 2a . 4a 2a 4a sin . 2 2 4ac b +∞ +∞ −         ⇒ = +    ÷  ÷  ÷         + + π π π π     = + = +  ÷  ÷       − −  ÷  ÷   π π   = +  ÷   − ∫ ( ) ( ) 3 n 3/2 2 n 2 2 i 1 c c.n b * lim 1 sin arctan 2 4ac b a i.c b.n.i.c n c →+∞ = →+∞      ÷  ÷ = −  ÷  ÷ −     + + ∑ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) i i i 3 2 i i 3 n n 2 3/2 3 n n 2 2 2 i 1 i 1 2 c c 2 n 3/2 n n 2 i 1 c c 1 c i.c Put f x , x 0, c , x , x n n ax bx c c.n c 1 I lim lim n a i.c b.n.i.c n c a i.c b.n.i.c n c n c 1 lim lim n i.c i.c a b c n n →+∞ →+∞ = = →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ = →+∞ →+ = ∈ ∆ = = + + ⇒ = =   + + + +  ÷  ÷   = =        ÷ + +  ÷  ÷  ÷       ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) c n i 3/2 c 2 i 1 0 2 dx f x . x lim ax bx c b 1 sin arctan 2 4ac b →+∞ = ∞ ∆ = + +      ÷  ÷ = −  ÷  ÷ −     ∑ ∫ ( ) p m n x a bx dx+ ∫ with m, n, p is rational number. The Russian mathematicant Trebushep prove that the upper integral only can be expressed in elementary function in 3 follow cases: 1/ p is an interger, when that, put s x t= with s is the least common multiple of m, n. 2/ m 1 n + is an interger, put s s a bx t+ = with s is the denominator of p. 3/ m 1 p n + + is an interger, put n s ax b t − + = with s is the denominator of p. 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 1 2 4 10 4 4 3 3 10 10 9 10 2 8 9 8 9 4 4 dx Ex : I x x 1 x x 1 So p 10 is a interger, we have case 1/ Put x t dx 4t .dt t 1 1 d t 1 d t 1 4t .dt I 4 dt 4 t t 1 t 1 t 1 t 1 4 4 1 4 8 t 1 9 t 1 2 x 1 9 x 1 − −    ÷ = = +  ÷  ÷ +   = − = ⇒ =   + − + +  ÷ ⇒ = = = −  ÷ + + + +   − − = + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p m n p a a 1 m.a n.a a 1 p p i a m 1 1 n.a.i a m 1 1 i n.a p i i i p i p p i 1 i 1 * I x . a b.x .dx where p is a interger Put x t dx a.t .dt I a t . a b.t .t .dt I a t . C b.t .a .dt a C t .b a .dt Put n.a.i a m 1 1 c − − + − + + − − − = = = + = ⇒ = ⇒ = +             = =  ÷  ÷  ÷  ÷             + + − = ⇒ ∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ i c 1 i p i p p p i c i p i p i 1 i 1 C t .b a I a C t .b a .dt a. c 1 + − − = =       = =  ÷  ÷ +       ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i n.i m 1 i p i i n.i m 1 i p i p p p p p m n i 1 i 1 1 i n.i m 1 i p i i i p i 1 p p p p p m n 1 i 1 i 1 0 0 C x .b a C x .b a I x . a b.x .dx a. a n.i m 1 n.i m 1 C x .b a C .b a I x . a b.x .dx n.i m 1 n.i m 1 + + − + + − = = + + − − = = = + = = + + + +     ⇒ = + = = + + + +     ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ 10

— Xem thêm —

Xem thêm: Các dạng bài tập tích phân , Các dạng bài tập tích phân , Các dạng bài tập tích phân

Lên đầu trang

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.1757709980011 s. Memory usage = 17.63 MB