Bài giảng: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Đại số và Giải tích 11 - Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC)

Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn
(25 người theo dõi)
Lượt xem 670
0
Tải xuống 20,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 76 | Loại file: DOC
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 24/08/2013, 11:22

Mô tả: Bài giảng có phần nâng cao.Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM". Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §3 Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 Đ3 một số dạng phơng trình lợng giác thờng gặp Dạng 1: Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác. Phơng pháp áp dụng Đặt hàm số lợng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện t 1), rồi giải phơng trình theo ẩn phụ này. Ví dụ 1: Giải phơng trình: a. 2cos 2 x 3cosx + 1 = 0. b. 2cos 2 x + sinx + 1 = 0. c. 3 tan 2 x (1 + 3 )tanx + 1 = 0. Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán. Giải a. Đặt t = cosx điều kiện t 1, ta biến đổi phơng trình về dạng: 2t 2 3t + 1 = 0 = = 2 1 t 1t = = 2 1 xcos 1xcos + = = k2 3 x k2x , k N. Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm. b. Biến đổi phơng trình về dạng: 2(1 sin 2 x) + sinx + 1 = 0 3 2sin 2 x + sinx = 0 2sin 2 x sinx 3 = 0. Đặt t = sinx điều kiện t 1, ta đợc: 2t 2 t 3 = 0 = = iạlo2/3t 1t sinx = 1 x = 2 + 2k, k N Vậy, phơng trình có một họ nghiệm. c. Đặt t = tanx, ta biến đổi phơng trình về dạng: 3 t 2 (1 + 3 )t + 1 = 0 = = 3 1 t 1t = = 3 1 xtan 1xtan + = + = k 6 x k 4 x , k N. Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm. Chú ý: Nh trong câu b) chúng ta thấy phơng trình ban đầu cha phải phơng trình bậc hai theo một hàm số lợng giác, khi đó ta cần thực hiện một vài phép biến đổi lợng giác dựa trên nguyên tắc: 1. Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác nhau thì biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa một hàm. 2. Nếu phơng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm lợng giác của một cung. 2 Ví dụ 2: Giải phơng trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm đó: a. 3cos2x + 10sinx + 1 = 0 trên 2 ; 2 ; b. 2sin 2 x + 3cosx = 2, 0 0 x 360 0 . c. tanx + 2cotx = 3, 180 0 x 360 0 . Giải a. Biến đổi phơng trình về dạng: 3(1 2sin 2 x) + 10sinx + 1 = 0 3sin 2 x 5sinx 2 = 0. Đặt t = sinx điều kiện t 1, ta đợc: 3t 2 5t 2 = 0 = = iạlo2t 3 1 t sinx = 3 1 2 ; 2 x x 0,34. b. Trớc tiên, ta đi giải phơng trình bằng cách biến đổi: 2(1 cos 2 x) + 3cosx = 2 2cos 2 x 3cosx = 0 (2cosx 3)cosx = 0 cosx = 0 x = 90 0 + k180 0 , k Z. Với điều kiện 0 0 x 360 0 , ta có: 0 0 90 0 + k180 0 360 0 2 1 k 2 3 Zk = = 1k 0k = = 0 0 270x 90x . Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 90 0 và x = 270 0 . c. Điều kiện x k90 0 , k Z. (*) Đặt t = tanx, khi đó phơng trình có dạng: t + t 2 = 3 t 2 3t + 2 = 0 = = 2t 1t = = 2xtan 1xtan + += 00 00 180k435,63x 180k45x 00 360x180 = 0 0 435,243x 225x . Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 225 0 và x 243,435 0 . Ví dụ 3: Cho phơng trình: xcos 1m 2 2 2m.tanx m 2 + 2 = 0. (1) a. Giải phơng trình với m = 2. b. Tìm m để phơng trình có đúng ba nghiệm thuộc (; 2 ). Giải Điều kiện: cosx 0 x 2 + k, k Z. Biến đổi phơng trình về dạng: (m 2 1)(1 + tan 2 x) 2mtanx m 2 + 2 = 0 3 (m 2 1)tan 2 x 2mtanx + 1 = 0. Đặt tanx = t, khi đó phơng trình có dạng: (m 2 1)t 2 2mt + 1 = 0 [(m 1)t 1][(m + 1)t 1] = 0 =+ = 1t)1m( 1t)1m( . (2) a. Với m = 2, ta đợc: = = 3 1 t 1t == == tan 3 1 xtan 4 tan1xtan += + = kx k 4 x , k Z. Vậy với m = 2, phơng trình có hai họ nghiệm. b. Để phơng trình có đúng ba nghiệm thuộc (; 2 ) điều kiện là (2) có hai nghiệm trái dấu, tức là: < + 0 1m 1 . 1m 1 1m m 2 1 < 0 m < 1. Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 4: Giải các phơng trình sau: a. 4sin 4 x + 12cos 2 x = 7. b. 6sin 2 3x + cos12x = 14. Giải a. Biến đổi phơng trình về dạng: 4sin 4 x + 12(1 sin 2 x) = 7 4sin 4 x 12sin 2 x + 5 = 0. Đặt t = sin 2 x điều kiện 0 t 1, ta đợc: 4t 2 12t + 5 = 0 t 1/ 2 t 5/ 2 lo iạ = = sin 2 x = 1 2 1 1 (1 cos2x) 2 2 = cos2x = 0 2x = 2 + k k x 4 2 = + , k  . Vậy, phơng trình có một họ nghiệm. b. Biến đổi phơng trình về dạng: 3(1 cos6x) + 2cos 2 6x 1 = 14 2cos 2 6x 3cos6x 12 = 0 Đặt t = cos6x điều kiện t 1, ta đợc: 2t 2 3t 12 = 0 1, 2 3 105 t 4 = (loại). Vậy, phơng trình vô nghiệm. 4 Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 3.500.000đ. 1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 2. Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN 0 & PTNT Tây Hồ 3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email. LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 5 Nhận xét: Nh vậy, trong ví dụ trên: ở câu a), chúng ta lựa chọn ẩn phụ t = sin 2 x để nhận đợc một phơng trình bậc hai (nếu đặt t = sinx sẽ là phơng trình trùng phơng). Tuy nhiên, các em học sinh cần lu ý tới việc giải phơng trình nghiệm sin 2 x = 1 2 bằng việc sử dụng công thức hạ bậc để tránh phải kết hợp nghiệm, bởi nếu sử dụng biến đổi: sin 2 x = 1 2 sinx = 2 2 x 2k 4 3 x 2k 4 = + = + , k  thì hoặc cần sử dụng đờng tròn đơn vị để kết hợp các nghiệm trên thành dạng k x 4 2 = + hoặc đành kết luận phơng trình có bốn họ nghiệm. Ngoài ra, có thể biến đổi tiếp: 4sin 4 x 12sin 2 x + 5 = 0 (2sin 2 x 3) 2 = 4 2 2 2sin x 3 2 2sin x 3 2 = = 2 2 sin x 5/ 2 (lo ) sin x 1/ 2 ại = = . ở câu b), lời giải đợc đề xuất từ việc đánh giá cung 3x ở dạng bình phơng nên có thể chuyển thành 6x và cung 12x cũng sẽ đợc chuyển về dạng 6x bậc hai. Ngoài ra, có thể nghĩ theo các cách khác : Cách 1: Chuyển 12x thành 3x nh sau: cos12x = 1 2sin 2 6x = 1 2(1 2sin 2 3x) 2 . Khi đó, ta sẽ nhận đợc một phơng trình bậc bốn dạng trùng phơng. Cách 2: Đánh giá sin 2 3x 1 và cos12x 1 nên: VT 6 + 1 = 7 < 14 = VP phơng trình vô nghiệm. Với phơng trình bậc cao hơn 2 đối với một hàm số lợng giác, ta có nhận định sau: 1. Đối với phơng trình bậc 3: at 3 + bt 2 + ct + d = 0. (1) ta lựa chọn một trong hai hớng Hớng 1: Nếu xác định đợc nghiệm t 0 thì: (1) (t t 0 )(at 2 + Bt + C)=0 0 2 t t at Bt C 0 (2) = + + = Khi đó, việc giải (1) đợc dẫn về việc giải (2). Hớng 2: Sử dụng phơng pháp hằng số biến thiên. Hớng 3: Sử dụng phơng pháp hàm số đồ thị. 2. Đối với phơng trình bậc 4: 6 at 4 + bt 3 + ct 2 + dt + e = 0. (3) ta lựa chọn một trong ba hớng Hớng 1: Nếu xác định đợc nghiệm t 0 thì: (3) (t t 0 )(at 3 + Bt 2 + Ct + D) = 0 0 3 2 t t at Bt Ct D 0 (4) = + + + = . Khi đó, việc giải (3) đợc dẫn về việc giải (4). Hớng 2: Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ. Hớng 3: Sử dụng phơng pháp hằng số biến thiên. Dạng 2: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Phơng pháp áp dụng Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng: asinx + bcosx = c. (1) Để giải phơng trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bớc: Bớc 1. Kiểm tra: 1. Nếu a 2 + b 2 < c 2 phơng trình vô nghiệm. 2. Nếu a 2 + b 2 c 2 , khi đó để tìm nghiệm của phơng trình (1) ta thực hiện tiếp bớc 2. Bớc 2. Chia hai vế phơng trình (1) cho 22 ba + , ta đợc: 22 ba a + sinx + 22 ba b + cosx = 22 ba c + Vì ( 22 ba a + ) 2 + ( 22 ba b + ) 2 = 1 nên tồn tại góc sao cho = + = + sin ba b ,cos ba a 2222 . Khi đó phơng trình (1) có dạng: sinx.cos + sin.cosx = 22 ba c + sin(x + ) = 22 ba c + . Đây là phơng trình cơ bản của hàm số sin. Cách 2: Thực hiện theo các bớc: Bớc 1. Với cos 2 x = 0 x = + 2k, kiểm tra vào phơng trình Bớc 2. Với cos 2 x 0 x + 2k, đặt t = tan 2 x , suy ra: sinx = 2 t1 t2 + và cosx = 2 2 t1 t1 + . Khi đó phơng trình (1) có dạng: 7 a. 2 t1 t2 + + b. 2 2 t1 t1 + = c (c + b)t 2 2at + c b = 0. (2) Bớc 3. Giải phơng trình (2) theo t. Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phơng trình trong (; ), ta có thể lựa chọn phơng pháp điều kiện cần và đủ. Nhận xét quan trọng: 1. Cách 1 thờng đợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phơng trình và tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phơng trình theo tham số. 2. Cách 2 thờng đợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phơng trình và tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm thuộc tập D với D [0, 2]. 3. Cách 3 thờng đợc sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số để ph- ơng trình k có nghiệm thuộc tập D với D[0, 2] . 4. Từ cách giải 1 ta có đợc kết quả sau: 22 ba + asinx + bcosx 22 ba + kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng y = a.sinx + b.cosx, y = xcos.dxsin.c xcos.bxsin.a + + và phơng pháp đánh giá cho một số phơng trình lợng giác. Dạng đặc biệt: Ta có các kết quả: sinx + cosx = 0 x = 4 + k, k Z. sinx cosx = 0 x = 4 + k, k Z. Ví dụ 1: Giải phơng trình: (1 + 3 )sinx + (1 3 )cosx = 2. Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán. Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Biến đổi phơng trình về dạng: 22 31 + sinx + 22 31 cosx = 2 1 Đặt 22 31 + = cos thì 22 31 = sin, khi đó ta đợc: sinx.cos + cosx.sin = 2 1 sin(x + ) = sin 4 8 + =+ + =+ k2 4 x k2 4 x + = + = k2 4 3 x k2 4 x , k Z. Vậy phơng trình có hai họ nghiệm. Cách 2: Biến đổi phơng trình về dạng: (sinx + cosx) + 3 (sinx cosx) = 2 2 sin(x + 4 ) 6 cos(x + 4 ) = 2 2 1 sin(x + 4 ) 2 3 cos(x + 4 ) = 2 1 sin(x + 4 ).cos 3 cos(x + 4 ).sin 3 = 2 1 sin(x + 4 3 ) = sin 4 + = + = k2 412 x k2 412 x + = + = k2 6 5 x k2 3 x Vậy phơng trình có hai họ nghiệm. Nhận xét: 1. Nh vậy, bằng cách 1 ta tìm đợc nghiệm của phơng trình không tờng minh, trong khi đó nếu sử dụng cách 2 ta thấy nghiệm của phơng trình rất chẵn. 2. Một vài tài liệu tham khảo giải phơng trình bằng cách đặt t = tan 2 x , dẫn tới ph- ơng trình: (3 3 )t 2 2(1 + 3 )t + 3 + 1 = 0 t 1 = 3 1 t 2 = 13 13 + Với t 1 = 3 1 ta đợc: tan 2 x = 3 1 = tan 6 2 x = 6 + k x = 3 + 2k, k Z Với t 2 = 13 13 + ta đợc: tan 2 x = 13 13 + = 4 tan. 3 tan1 4 tan 3 tan + = tan 12 7 = tan 12 5 2 x = 12 5 + k x = 6 5 + 2k, k Z Ví dụ 2: Giải phơng trình: 9 sin 2 2 x + sinx 2cos 2 2 x = 2 1 . Hớng dẫn: Sử dụng công thức hạ bậc. Giải Biến đổi phơng trình về dạng: 2 1 (1 cosx) + sinx (1 + cosx) = 2 1 2sinx 3cosx = 2 13 2 sinx 13 3 cosx = 13 2 đặt 13 2 = cos thì 13 3 = sin, khi đó ta đợc: cos.sinx sin.cosx = cos sin(x ) = sin( 2 ) ++ = + = k2 2 x k2 2 x ++ = + = k2 2 x k 2 x , k Z. Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm. Nhận xét: Nh vậy, một vài phơng trình lúc ban đầu cha có dạng a.sinx + b.cosx = c, khi đó cần linh hoạt trong việc sử dụng các phép biến đổi lợng giác. Ví dụ 3: Giải phơng trình: 2sin 2 x + 3 3 sinx.cosx cos 2 x = 4. Hớng dẫn: Sử dụng công thức hạ bậc. Giải Biến đổi phơng trình về dạng: 1 cos2x + 2 33 sin2x 2 1 (1 + cos2x) = 4 2 33 sin2x 2 3 cos2x = 2 7 . (1) Nhận xét rằng: 2 2 33 + 2 2 3 = 4 36 < 2 2 7 phơng trình (1) vô nghiệm. Vậy, phơng trình vô nghiệm. Ví dụ 4: Giải phơng trình: 2( 3 sinx cosx) = 3sin2x + 7 cos2x 10 . sin3cos cos = sin3cos32 sin31 (2 3cos 3 sin)cos = ( cos + 3 sin)(1 3 sin) 3cos2 + 3 sin2 = 3cos 3 sin 2 3 cos2 + 2 1 sin2 = 2 3 cos 2 1 sin cos2.cos. = 3 2 cũng là nghiệm, nh vậy: = + =+ 1) 3 2 cos(m) 3 2 sin (3 1cosmsin3 +=+ = )sin 2 1 cos 2 3 (31 )sin 2 3 cos 2 1 (m sin31cosm + sin3cos

— Xem thêm —

Xem thêm: Bài giảng: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Đại số và Giải tích 11 - Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC), Bài giảng: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Đại số và Giải tích 11 - Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC)

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.82289004325867 s. Memory usage = 17.65 MB