Lý thuyết và bài tập giải tích 1 (ĐHBK TP.HCM)

Trần Đức Nam
Trần Đức Nam(1 tài liệu)
(0 người theo dõi)
Lượt xem 349
10
Tải xuống 2,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 53 | Loại file: PDF
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 22/11/2013, 10:36

Mô tả: Cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phânGiúp người đọc dễ hiểu lý thuyết, nắm vững các kĩ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thểBiết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ môn Toán Ứng dụng . Bài Giảng Giải Tích 1 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh Ngày 8 tháng 9 năm 2013 Mục tiêu môn học • Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. • Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. • Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật. Tài liệu tham khảo 1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005 2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. 3) Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia Mục lục 1 Giới hạn và liên tục 3 1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Hàm lũy thừa y = x α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Hàm y = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.9 Hàm tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Đạo hàm và vi phân 25 2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2 Chương 1 Giới hạn và liên tục 1.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1 (Dãy số đơn điệu) . Dãy số (x n ) gọi là tăng nếu x n ≤ x n+1 ,∀n ∈ N Dãy số (x n ) gọi là giảm nếu x n ≥ x n+1 ,∀n ∈ N Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt). Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu. Ví dụ 1.1 Xét tính đơn điệu của dãy số (x n ) : x n = n + 1 n + 2 . Xét x n+1 − x n = (n + 1) + 1 (n + 1) + 2 − n + 1 n + 2 = (n + 2) 2 − (n + 1)(n + 3) (n + 3)(n + 2) = 1 (n + 3)(n + 2) > 0,∀n ∈ N. =⇒ x n+1 > x n suy ra (x n ) là dãy tăng. Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn) . Dãy (x n ) gọi là bị chặn trên nếu ∃M : x n ≤ M,∀n. Dãy (x n ) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : x n ≥ m,∀n. Dãy (x n ) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Dãy (x n ) bị chặn khi và chỉ khi (|x n |) bị chặn trên. Ví dụ 1.2 Xét tính bị chặn của dãy số (x n ) : x n = n n + 1 . Ta có 0 < n n + 1 < 1,∀n ∈ N. Suy ra (x n ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn. Định nghĩa 1.3 (Dãy con) . Cho dãy (x n ). Dãy con của (x n ) là một dãy (x n k ) k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (x n ) theo thứ tự tăng dần của chỉ số. Ví dụ 1.3 Cho dãy (x n ) : x n = n n 2 − 2 =  −1, 1, 3 7 , 2 7 , 5 23 , 3 17 , . . .  . Dãy v n =  −1, 3 7 , 5 23 , 3 17 , . . .  là một dãy con của x n . Dãy x 2n = 2n (2n) 2 − 2 =  1, 2 7 , 3 17 . . .  là dãy con các chỉ số chẵn của x n . Dãy x 2n+1 = 2n + 1 (2n + 1) 2 − 2 =  −1, 3 7 , 5 23 , . . .  là dãy con các chỉ số lẻ của x n . Định nghĩa 1.4 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim n→+∞ u n = a hay u n n→+∞ −−−−−→ a được định nghĩa ∀ε > 0,∃n 0 : n ≥ n 0 =⇒ |u n − a| < ε Ta nói dãy (u n ) hội tụ về a. Nếu (u n ) không hội tụ thì ta nói (u n ) phần kỳ. 3 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Định nghĩa 1.5 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu lim n→+∞ u n = +∞ hay u n n→+∞ −−−−−→ +∞ được định nghĩa ∀A > 0,∃n 0 : n ≥ n 0 =⇒ u n > A. Ta nói dãy (u n ) hội tụ về a. Nếu (u n ) không hội tụ thì ta nói (u n ) phần kỳ. Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞. Tính chất Cho x n −→ a, y n −→ b; a, b ∈ R ta có i) lim n→+∞ (x n ± y n ) = a± b. ii) lim n→+∞ (x n .y n ) = ab. iii) lim n→+∞ x n y n = a b , b = 0. iv) lim n→+∞ |x n | = |a|. Định lý 1. Giới hạn dãy nếu tồn tại là duy nhất. 2. Dạy hội tụ thì bị chặn. 3. Cho x n ≤ y n ≤ z n ,∀n ≥ n 0 .  x n −→ a z n −→ a =⇒ y n −→ a. 4. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 5. x n → a ⇐⇒  x 2n → a x 2n+1 → a. Số e. Người ta chứng minh được dãy số x n =  1 + 1 n  n là dãy tăng và bị chặn trên do đó hội tụ. Ký hiệu lim n→∞  1 + 1 n  n = e Số e là số vô tỷ có giá trị gần đúng là e = 2.718281828 . Các giới hạn cơ bản i) lim n→∞ 1 n α = 0, α > 0. ii) lim n→∞ 1 ln α n = 0, α > 0. iii) lim n→∞ q n = 0,|q| < 0. iv) lim n→∞ n √ n α = 1,∀α. v) lim n→∞  1 + a n  n = e a ,∀a. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 4 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Các dạng vô định 0 0 , ∞ ∞ , 0.∞,∞ − ∞, 1 ∞ , +∞ 0 , 0 0 + Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức hoặc biến đổi đại số để khử dạng vô định. Nếu giới hạn không phải dạng vô định, ta tính bình thường. Quy tắc 1 0 = ∞, 1 ∞ = 0. ln α n  n β (β > 0)  a n (a > 1)  n!  n n Dấu  chỉ mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ chia hàm lớn dần về 0 và hàm lớn chia hàm nhỏ dần về vô cùng. Ví dụ 1.4 a) lim n→∞ ln 5 n √ n = 0. b) lim n→∞ 3 n n! = 0. c) lim n→∞ 2 n n 100 = +∞. d) lim n→∞ log 5 2 n 3 n = 0. Ví dụ 1.5 Tính các giới hạn sau a) I = lim n→∞ 2n 3 − 3n 4n + 3n 2 . Dạng ∞ ∞ . Đại lượng x 3 lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho x 3 . I = lim n→∞ 2 − 3 n 2 4 n 2 + 3 n = +∞ (vì tử dần về 2, mẫu dần về 0). b) I = lim n→∞ 2n 3 − 4 n+1 3 n − 2 2n−1 + 5n 7 . Dạng ∞ ∞ . Đại lượng 4 n = 2 2n lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho 4 n . I = lim n→∞ 2 n 3 4 n − 4 ( 3 4 ) n − 1 2 + 5 n 7 4 n = 0 − 4 0 − 1 2 + 0 = 8. c) I = lim n→∞ √ n 2 + 4n − n + 1. Dạng ∞ − ∞. Nhân lượng liên hợp. I = lim n→∞ ( √ n 2 + 4n − n)( √ n 2 + 4n + n) √ n 2 + 4n + n + 1 lim n→∞ n 2 +4n− n 2 √ n 2 + 4n + n + 1. Dạng ∞ ∞ . Chia cả tử và mẫu cho n. I = lim n→∞ 4  1 + 4 n + 1 + 1 = 4 √ 1 + 0 + 1 + 1 = 3. d) I = lim n→∞ n √ 3n 4 − 4n 3 = lim n→∞ n  n 4 (3 − 4 1 n ) = lim n→∞ n √ n 4 (3 − 4 1 n ) 1 n = 1.3 0 = 1. Tương tự, ta có thể chứng minh n √ P m → 1 với mọi đa thức P m . e) I = lim n→∞ n  2 n+1 − 4n 3 n + 5n 3 = lim n→∞ 2 3 n       2 − 4n 2 n 1 + 5n 3 3 n = 2 3 . Vì lim n→∞ n       2 − 4n 2 n 1 + 5n 3 3 n = lim n→∞     2 − 4n 2 n 1 + 5n 3 3 n     1 n = 2 0 = 1. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 5 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC f) I = lim n→∞ ln 2 (2n) ln 2 n = lim n→∞ (ln 2 + ln n) 2 ln 2 n = lim n→∞  ln 2 ln n + 1  2 = (0 + 1) 2 = 1. g) I = lim n→∞ √ n sin n! n + 1 . Ta có 0 ≤     √ n sin n! n + 1     ≤ √ n n + 1 . Vì lim n→+∞ 0 = lim n→∞ √ n n + 1 = 0 nên lim n→∞     √ n sin n! n + 1     = 0 =⇒ lim n→∞ √ n sin n! n + 1 = 0. h) I = lim n→∞  n − 1 n + 1  n+1 = lim n→∞  1 + −2 n + 1  n+1 = e −2 = 1 e 2 . i) I = lim n→∞  n 2 + 2 n 2 + 5  3n 2 +1 = lim n→∞  1 + −3 n 2 + 5  (n 2 +5) 3n 2 +1 n 2 +5 = lim n→∞   1 + −3 n 2 + 5  (n 2 +5)  3n 2 +1 n 2 +5 =  e −3  3 = e −9 = 1 e 9 . j) I = lim n→∞  2n + 3 3n + 2  n 3 +1 n+2 . Vì lim n→∞ 2n + 3 3n + 2 = 2 3 , lim n→∞ n 3 + 1 n + 2 = +∞ nên I = 0. Chú ý bài này không phải dạng vô định. Có dạng (2/3) +∞ = 0. k) I = lim n→∞  2n 2 + 3n 4n 2 − 2n  √ n n 2 +2 . Vì lim n→∞ 2n 2 + 3n 4n 2 − 2n = 1 4 , lim n→∞ √ n n 2 + 2 = 0 nên I = (1/4) 0 = 1. Chú ý bài này cũng không phải dạng vô định. l) I = lim n→∞  2n 3 + 3n 4n 2 − 2n  n n 2 +2 . Bài này dạng vô định +∞ 0 . Ta làm như sau:  2n 3 + 3n 4n 2 − 2n  n n 2 +2 =  2n 3 + 3n 4n 2 − 2n  1 n . n 2 n 2 +2 =  n √ 2n 3 + 3n n √ 4n 2 − 2n  n 2 n 2 +2 n→∞ −−−→ (1/1) 1 = 1. Ví dụ 1.6 Tính các giới hạn sau a) I = lim n→∞ (−1) n . Đặt x n = (−1) n Ta có x 2n = (−1) 2n = 1 −→ 1, x 2n+1 = (−1) 2n+1 = −1 −→ −1. Vậy không tồn tại giới hạn. b) I = lim n→∞  1 − n 1 + n  n . Đặt x n =  1 − n 1 + n  n = (−1) n  n − 1 1 + n  n = (−1) n  1 + −2 1 + n  n . x 2n = (−1) 2n  1 + −2 1 + 2n  2n −→ 1.e −2 = 1 e 2 . x 2n = (−1) 2n+1  1 + −2 2 + 2n  2n+1 −→ −1.e −2 = − 1 e 2 . Vậy không tồn tại giới hạn. c) lim n→∞ x n , với x n =  x 1 = √ 2 x n+1 = √ 2 + x n , n ≥ 1. Viết cách khác: x n =  2 +  2 + √ 2 + . . . (n dấu căn). Dùng quy nạp chứng minh được dãy x n tăng và bị chặn trên bởi 2 do đó hội tụ. Giả sử x n → a. Từ giả thiết ta có lim n→∞ x n+1 = lim n→∞ √ 2 + x n ⇐⇒ a = √ 2 + a ⇐⇒ a = 2. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 6 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Vậy lim n→∞ x n = 2. d) lim n→∞ x n , với x n = 1 1.2 + 1 2.3 + ··· + 1 n(n + 1) . Ta có x n =  1 − 1 2  +  1 2 − 1 3  +  1 3 − 1 4  + ··· +  1 n − 1 n + 1  = 1 − 1 n + 1 −→ 1. Bài tập Tính giới hạn 1. lim 4 n − 5 −n 3 n − 2 2n − 5n 6 2. lim ln(3n 2 − 2n) n 9 + 3n 2 3. lim log 2 10n log 2 n 4. lim( 1 + n n + 2 ) 1 + n 2 − n 2 5. lim n  n 2 + 4 n n + 5 n 6. lim( 2n − 3 2n + 5 ) n 2 + 1 n + 1 7. lim n  n + (−1) n 8. lim n sin n! (1 + n) √ n − 2 9. lim n  5n + 1 n 10 + 2n 10. lim( 2n + 1 n 2 − 1 ) 1 n − 2 11. lim( n − 2 n + 2 ) 1 + n 2 − √ n 12. lim( 2n − 1 5n + 2 ) n 13. lim n 2 + 2n arctan n! 3n 3 + arcsin n 14. lim( n − 1 n 2 + 1 ) 1−n 15. lim 1 n √ n! 16. lim n n √ n! Tìm lim u n biết: 17. u n = 1 1.3 + 1 3.5 + ··· + 1 (2n − 1).(2n + 1) 18. u n = (1 + (−1) n n ) n 19. u 1 = √ 3, u n+1 = √ 3 + u n 20. u n = sin n Đại học Bách khoa TPHCM Trang 7 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2 Hàm số 1.2.1 Hàm lũy thừa y = x α n = 2 : y = x 2 * T XD : D = R. * T GT : T = [0,∞). * Hàm số tăng trên khoảng (0,∞) và giảm trên khoảng (−∞, 0). * Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. 0 y = x 2 y x n = −1 : y = 1 x * T XD : D = R \ {0}. * T GT : T = (−∞, 0) ∪ (0,∞). * Hàm số giảm trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞) * Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). 0 y = 1 x y x n = −1 : y = √ x * T XD : D = [0,∞). * T GT : T = [0,∞). * Hàm số tăng trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞) * Không có tính chẵn lẻ. 0 y = √ x y = − √ x y x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 8 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2.2 Hàm lượng giác Hàm số y = sin x * T XD : D = R. * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : sin(x) = sin(x + 2π) * T GT : T = [−1, 1]. * Hàm số tăng trên khoảng (− π 2 , π 2 ). * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). Công thức i) sin 2 x + cos 2 x = 1 ii) sin 2x = sin x cos x iii) sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x iv) sin 2 x = 1 − cos 2x 2 v) sin π 2 = 0; sin(kπ) = 0, k ∈ Z. 0 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 −2 −1 1 2 y = sin x y x Hàm số y = cos x * T XD : D = R. * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : cos(x) = cos(x + 2π) * T GT : T = [−1, 1]. * Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. Công thức i) cos 2x = cos 2 x − sin 2 x ii) cos 2x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − sin 2 x iii) cos 2 x = 1 + cos 2x 2 iv) cos 0 = 1; cos π = −1, cos(± π 2 ) = 0. 0 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 −2 −1 1 2 y = cos x y x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 9 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp . x 1 3 √ x − 1 5 √ x − 1 t=x 1 0 ===== lim t→0 3 √ 1 + t − 1 5 √ 1 + t − 1 = lim t→0 (1 + t) 1 3 − 1 (1 + t) 1 5 − 1 = lim t→0 (1+ t) 1 3 1 t (1+ t) 1 5 1. 14 . lim( n − 1 n 2 + 1 ) 1 n 15 . lim 1 n √ n! 16 . lim n n √ n! Tìm lim u n biết: 17 . u n = 1 1.3 + 1 3.5 + ··· + 1 (2n − 1) .(2n + 1) 18 . u n = (1 + ( 1)

— Xem thêm —

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập giải tích 1 (ĐHBK TP.HCM), Lý thuyết và bài tập giải tích 1 (ĐHBK TP.HCM)

Lên đầu trang

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.323585033417 s. Memory usage = 13.9 MB