Bài giảng Toán tối ưu hóa - bài toán vận tải - Đại Học Ngân Hàng Thành Phố Hồ Chí Minh

Tài Liệu Giá Rẻ
Tài Liệu Giá Rẻ(301 tài liệu)
(7 người theo dõi)
Lượt xem 79
3
Tải xuống 15,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 74 | Loại file: PDF
0

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/12/2013, 16:43

Mô tả: Bài giảng Toán tối ưu hóa - bài toán vận tải - Đại Học Ngân Hàng Thành Phố Hồ Chí Minh TRệễỉNG ẹAẽI HOẽC KINH TE TP.HCM ThS. PHAẽM TR CAO www37.websamba.com/phamtricao HOAậC www.phamtricao.web1000.com 2005 LỜI NÓI ĐẦU Bạn đọc thân mến. Tập bài giảng này biên soạn dành cho sinh viên hệ chính quy, học viên luyện thi cao học của trường đại học Kinh tế Tp.HCM. Bài giảng này là sự đúc kết kinh nghiệm nhiều năm trong quá trình giảng dạy môn Tối ưu hóa (Quy hoạch tuyến tính). Bài giảng được biên soạn dựa trên các đề thi học kỳ, đề thi tuyển sinh cao học của trường đại học Kinh tế Tp.HCM. Bài giảng được biên soạn dựa trên các thắc mắc, câu hỏi của sinh viên trong quá trình giảng dạy. Trong bài giảng chủ yếu trình bày các mô hình toán kinh tế và thuật toán, phương pháp giải mà không đi sâu vào cơ sở lý thuyết. Nếu muốn tìm hiểu sâu hơn về mặt lý thuyết và các dạng toán mở rộng – nâng cao, các bạn cần xem thêm các tài liệu chuyên ngành toán kinh tế. Bài giảng được biên soạn trên tinh thần “Đơn giản–Tự học“ và với tiêu chí là “Dừa–Đủ–Xoài“ Mong rằng khi đọc xong tập bài giảng này thì bạn sẽ cảm thấy tâm hồn nhẹ nhàng, thư thái; tinh thần thoải mái khi bước vào phòng thi !!! Mọi góp ý về sai sót của bài giảng xin gởi về đòa chỉ mail: phamtricao@ ueh.edu.vn Tp.HCM, tháng 10 năm 2005 CHƯƠNG TRÌNH HỌC (45 tiết) Chương 1: Bài toán Quy hoạch tuyến tính -Các khái niệm và đònh nghóa về bài toán QHTT − Bài toán QHTT tổng quát − Bài toán QHTT dạng chính tắc − Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc -Phương pháp hình học giải bài toán QHTT 2 biến -Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT (dạng chuẩn, minf) -Thuật toán đơn hình và đơn vò đo của biến -Phương án cực biên suy biến, hiện tượng xoay vòng -Vấn đề về phương án cực biên ban đầu − Bài toán (M) -Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT (dạng chuẩn, maxf) -Giải bài toán QHTT tổng quát -Vấn đề về phương án tối ưu duy nhất Chương 2: Bài toán Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu -Cách thành lập bài toán QHTT đối ngẫu -Các đònh lý đối ngẫu -Các ví dụ dùng đònh lý đối ngẫu (đònh lý độ lệch bù) để giải bài toán đối ngẫu Chương 3: Bài toán vận tải -Các khái niệm về bài toán vận tải cân bằng thu phát (BT vận tải cổ điển) -Thuật toán thế vò giải BTVT (Cân bằng thu phát, f Ỉ min) -Trường hợp có pa cực biên không suy biến -Trường hợp gặp pa cực biên suy biến -BTVT không cân bằng thu phát − Bài toán có tổng phát < tổng thu − Bài toán có tổng phát > tổng thu -BTVT có ô cấm -BT dạng vận tải có fỈ max -Vấn đề về phương án tối ưu duy nhất -BT xe không GIÁO TRÌNH THAM KHẢO 1) Chủ biên: Bùi Phúc Trung Giáo trình Tối ưu hóa (Quy hoạch tuyến tính) – Trường ĐHKT 2) Trần Gia Tùng – Vũ Thò Bích Liên – Hoàng Đức Hải Toán kinh tế –Trường ĐH TCKT 3) Nguyễn Thành Cả Toán kinh tế * Phần QHTT – Trường ĐHKT 4) Bùi Thế Tâm –Trần Vũ Thiệu Các phương pháp tối ưu hóa – NXB GTVT 5) Bùi Minh Trí Quy hoạch toán học – NXB KHKT 6) Phan Quốc Khánh Quy hoạch tuyến tính – NXB GD 7) Trần Túc Bài tập quy hoạch tuyến tính – NXB KHKT 8) Đặng Văn Uyên Quy hoạch tuyến tính – NXB GD 9) Lê Văn Hợp Giáo trình quy hoạch tuyến tính – ĐH Tổng hợp Tp.HCM 10) Chủ biên: Hoàng Ngọc Nhậm Tài liệu ôn thi Cao học kinh tế: Môn toán kinh tế  Trường ĐHKT 11) Lê Khánh Luận Lý thuyết, bài tập, bài giải Quy hoạch tuyến tính (Tối ưu hóa)  NXB Lao Động 2006 Tối ưu hóa * Chương 1: Bài toán Quy hoạch tuyến tính CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I) CÁC KHÁI NIỆM: 1) Các ví dụ dẫn đến bài toán QHTT VD1.1: Lập kế hoạch sản xuất Một XN có 3 loại nguyên liệu khác nhau: A, B, C với lượng dự trữ tối đa là 10, 16, 20 tấn. Người ta dùng để sản xuất 4 loại sản phẩm I, II, III, IV. Đònh mức kỹ thuật về từng loại nguyên liệu để sản xuất ra 1 tấn sản phẩm và tiền lãi của mỗi loại sản phẩm cho trong bảng sau: Đònh mức kỹ thuật Loại nguyên liệu Dự trữ I II III IV A (tấn) 10 1 2 2 3 B (tấn) 16 2 1 1 2 C (tấn) 20 3 1 2 2 Lãi (triệu đ/tấn) 4 5 6 4 Hãy lập kế hoạch sản xuất các loại sản phẩm sao cho thỏa mãn yêu cầu hạn chế về nguyên liệu, đồng thời tổng số tiền lãi thu được lớn nhất HD: Gọi x j là số tấn sp loại j cần sản xuất, j =1,4 Bài toán là: Tìm véc tơ x=(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) sao cho: f(x) = f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = 4x 1 +5x 2 +6x 3 +4x 4 Ỉ max x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 <=10 2x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 <=16 3x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 <=20 x j >= 0 , j=1,4 Đây là bài toán cực trò có điều kiện của hàm nhiều biến. Ta không dùng kiến thức giải tích−toán cao cấp để giải mà sẽ đưa ra phương pháp giải đặc trưng cho dạng toán này. Giải bài toán trên ta được kết quả x= (5, 0, 5/2 , 0) và f max = 35 VD1.2: Đònh khẩu phần thức ăn Để nuôi 1 loại gia súc, một đội sản xuất dùng 3 loại thức ăn T1, T2, T3. Trong 3 loại thức ăn đó có chứa 3 loại chất dinh dưỡng A, B, C. Số đơn vò chất dinh dưỡng (g) có trong 1 đơn vò thức ăn (kg) như sau: Số đv chất dd có trong 1 đv thức ăn Chất dd T1 T2 T3 A 1 2 3 B 2 1 2 C 1 1 1 Nhu cầu tối thiểu trong khẩu phần hàng ngày của gia súc là: 10, 12, 14 đv chất A, B, C. Giá thức ăn mỗi loại là 3, 5, 7 (ngàn đ/kg). Hãy xác đònh lượng thức ăn mỗi loại cần có trong khẩu phần ăn hàng ngày để đảm bảo yêu cầu về chất dinh dưỡng, đồng thời tổng số tiền mua thức ăn hàng ngày là nhỏ nhất HD: Gọi x j là số đơn vò thức ăn (kg) loại Tj cần cho ăn hàng ngày, j=1,3. Bài toán là: Tìm x =(x 1 , x 2 , x 3 ) sao cho: f(x) = f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 3x 1 +5x 2 +7x 3 Ỉ min 1 www37.websamba.com/phamtricao ThS. Phạm Trí Cao * 2005 www.phamtricao.web1000.com x 1 +2x 2 +3x 3 >=10 2x 1 + x 2 +2x 3 >=12 x 1 + x 2 + x 3 >=14 x j >= 0 , j=1,3 Giải bài toán trên ta được x =(14, 0, 0) và f min = 42 VD 1.3: Bài toán phân bổ vốn đầu tư Một người có 70 triệu đồng muốn cho vay theo các loại hình sau: -Tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 5% -Tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8% -Mua tín phiếu với lãi suất 10% Thời gian đáo hạn cho là như nhau. Để giảm rủi ro, người này cho vay theo chỉ dẫn tư vấn như sau: -Mua tín phiếu và tiết kiệm có kỳ hạn ít nhất 70% vốn -Số tiền mua tín phiếu không vượt quá 2 loại hình còn lại -Cho vay toàn bộ số tiền Cho biết kế hoạch đầu tư sao cho lợi nhuận tối đa HD: Gọi x 1 , x 2 , x 3 (triệu đ) lần lượt là số tiền đầu tư vào: TK có kỳ hạn, tín phiếu, TK không kỳ hạn Bài toán là: Tìm x=(x 1 , x 2 , x 3 ) sao cho: f(x) = 0,08x 1 +0,1x 2 +0,05x 3 Ỉ max x 1 +x 2 >= 49 x 1 –x 2 +x 3 >= 0 ⇔ x 2 <= x 1 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = 70 x j >= 0 , j=1,3 Giải bài toán trên ta được x= (35, 35, 0) và f max = 6,3 2) Bài toán QHTT tổng quát Tìm x = (x 1 ,x 2 , .,x n ) sao cho: f(x) = c ∑ = n j 1 j x j Ỉ min (max) (1) (*) a ∑ = n j 1 ij x j ( <= , = , >= ) b i , i =1,m (2) x j ( >=0 , <=0 , tùy ý ) , j=1,n (3) – Các b i gọi là các hệ số tự do. – Các c j gọi là các hệ số hàm mục tiêu – a ij gọi là hệ số các ràng buộc chung -f(x) gọi là hàm mục tiêu -Hệ (*) gọi là hệ ràng buộc: (2) gọi là ràng buộc chung (3) gọi là ràng buộc biến -Véc tơ x gọi là 1 phương án (PA) nếu x thỏa (*) -Tập hợp tất cả các PA gọi là miền ràng buộc. Ký hiệu D, X, Y,… -Một PA làm cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu (ứng với BT minf) hoặc cực đại (ứng với BT maxf) gọi là phương án tối ưu (patư). Ký hiệu x* hoặc x 0pt Nghóa là: BT min: ∀x∈D: f(x) >= f(x*) BT max: ∀x∈D: f(x) <= f(x*) -Bài toán QHTT có patư gọi là bài toán giải được -Giải bài toán QHTT là tìm các patư của nó (nếu có) -Hai bài toán QHTT gọi là tương đương nhau nếu chúng có chung tập patư 2 Tối ưu hóa * Chương 1: Bài toán Quy hoạch tuyến tính Câu hỏi: Tại sao trong hệ ràng buộc (*) ta chỉ xét dấu ≥ hoặc dấu ≤ mà không xét dấu > hoặc < Chuyển bài toán max về bài toán min: f(x) Ỉ max ⇔ g(x)= −f(x) Ỉ min x∈D x∈D Câu hỏi: Chứng minh 2 bài toán là tương đương nhau Phương án cực biên (pa cơ bản) của BT QHTT tổng quát • Một ràng buộc gọi là chặt đối với pa x nếu xãy ra dấu bằng, thí dụ ∑ a = n j 1 ij x j = b i Một ràng buộc gọi là lỏng đối với pa x nếu xãy ra dấu bất đẳng thức thực sự, thí dụ a ∑ = n j 1 ij x j > b i Khái niệm chặt, lỏng xét cho cả ràng buộc chung và ràng buộc biến. • Một pa có n ràng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi là pacb. − Một pacb có đúng n ràng buộc chặt gọi là pacb không suy biến − Một pacb có nhiều hơn n ràng buộc chặt gọi là pacb suy biến • Một pa có ít hơn n ràng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi là pa không cực biên. Lưu ý: Số ràng buộc chặt đltt <= n (số biến) số ràng buộc chặt đltt <= số ràng buộc chặt HD cách làm: B1) Kiểm tra x là pa của bài toán: kiểm tra x thỏa các điều kiện ràng buộc. Xác đònh các ràng buộc chặt, lỏng. B2) Kiểm tra x là pacb: số ràng buộc chặt đltt = n (số biến)? B21) Nếu đúng: x là pacb. kiểm tra có suy biến hay không: Số ràng buộc chặt đltt = số ràng buộc chặt? B21.1) Nếu đúng: x là pacbksb B21.2) Nếu sai: x là pacbsb B22) Nếu sai: x là pa không cb (x không là pacb) Ví dụ 1: f=3x 1 +4x 2 −6x 3 +7x 4 −−> min 2x 1 +x 2 +x 3 −x 4 <=3 −x 1 +x 2 −x 3 +2x 4 >=−1 x 1 >=0, x 2 >=0, x 3 >=0, x 4 <=0 1) x=(0,1,2,0) là pacbksb? 2) x=(0,3,0,0) là pacbksb? 3) x=(0,0,0,0) là pacbksb? 4) x=(0,1,1,0) là pakcb? Ví dụ 2: f=3x 1 +4x 2 −6x 3 +7x 4 −−> min 2x 1 + x 2 + x 3 −x 4 <=3 −x 1 + x 2 − x 3 +2x 4 >=−1 x 1 +4x 2 −2x 3 + x 4 =0 x 1 >=0, x 2 >=0, x 3 >=0, x 4 <=0 x=(0,1,2,0) là pacbsb? 3 www37.websamba.com/phamtricao ThS. Phạm Trí Cao * 2005 www.phamtricao.web1000.com 3) Dạng chính tắc của bài toán QHTT f(x) = c ∑ = n j 1 j x j Ỉ min (max) (1) ∑ a = n j 1 ij x j = b i , i=1,m (2) x j >= 0 , j=1,n (3) Đặt: a 11 a 12 a 1n b 1 x 1 A= a 21 a 22 a 2n b= b 2 x= x 2 . a m1 a m2 a mn b m x n c = (c 1 ,c 2 , ,c n ) Ta viết bài toán (1)-(3) dưới dạng ma trận: f(x) = <c,x> Ỉ min (max) Ax = b x >= 0 Với quy ước: (x 1 ,x 2 , .,x n ) >= (y 1 ,y 2 , .y n ) ⇔ x j >= y j , j=1,n Bất kỳ bài toán QHTT tổng quát nào cũng có thể đưa về dạng chính tắc bằng các phép biến đổi tuyến tính sau: * Ràng buộc biến: Nếu x j <=0 thì ta đặt x’ j = −x j >=0 Nếu x j bất kỳ thì ta đặt x j = x j + − x j − , x j + , x j − >=0 * Ràng buộc chung: ∑ = n j 1 a ij x j <= b i Thêm biến phụ y i >=0: a ∑ = n j 1 ij x j +y i = b i ∑ = n j 1 a ij x j >= b i Thêm biến phụ y i >=0: a ∑ = n j 1 ij x j – y i = b i Ví dụ 1.4: Bài toán (P) f(x) = x 1 +x 2 +2x 3 Ỉ min x 1 +4x 2 +x 3 <=10 3x 1 +x 2 +x 3 =12 2x 1 +3x 2 +x 3 >=16 x j >=0 , j=1,3 HD: Đưa (P) về dạng chính tắc (P*) f(x) = x 1 +x 2 +2x 3 +0.x 4 +0.x 5 Ỉ min ⇔ f(x) = x 1 +x 2 +2x 3 Ỉ min x 1 +4x 2 +x 3 +x 4 =10 3x 1 + x 2 +x 3 =12 2x 1 +3x 2 +x 3 –x 5 =16 x j >= 0 , j=1,5 x 4 ,x 5 là biến phụ Câu hỏi: tại sao các hệ số ở hàm mục tiêu của biến phụ phải bằng 0? Quan hệ giữa (P) và (P*) -(P*) không có PATƯ thì (P) không có PATƯ -(P*) có PATƯ là (x 1 *, x 2 *, ., x 5 *) thì (x 1 *, x 2 *, x 3 *) là patư của (P), f min = f(x 1 *, x 2 *, x 3 *) 4 Tối ưu hóa * Chương 1: Bài toán Quy hoạch tuyến tính Ví dụ1.5: Bài toán (P) f(x) = x 1 +2x 2 +5x 3 Ỉ min x 1 + x 2 +x 3 =2 2x 1 +3x 2 +x 3 =5 x 1 <=0 , x 2 tùy ý , x 3 >=0 HD: Đưa (P) về dạng chính tắc (P*) Đặt y 1 = −x 1 >=0 ; x 2 = y 2 −y 3 , y 2 , y 3 >=0 f = -y 1 +2(y 2 -y 3 )+5x 3 Ỉ min -y 1 +( y 2 -y 3 )+x 3 =2 -2y 1 +3(y 2 -y 3 )+x 3 =5 y 1 , y 2 , y 3 , x 3 >=0 Quan hệ giữa (P) và (P*) -(P*) không có PATƯ thì (P) không có PATƯ -(P*) có PATƯ là (y 1 *, y 2 *, y 3 *, x 3 *) thì (−y 1 *, y 2 *−y 3 *, x 3 *) là patư của (P), f min = f(-y 1 *, y 2 *-y 3 *, x 3 *) VD 1.6: Bài toán (P) f= x 1 +2x 2 +x 3 Ỉ max x 1 +x 2 –x 3 <=2 2x 1 +x 2 +x 3 = 3 x 1 <=0 , x 2 >=0 , x 3 >=0 HD: Đưa (P) về dạng chính tắc (P*) Đặt y 1 = -x 1 >=0 f= -y 1 +2x 2 +x 3 Ỉ max -y 1 +x 2 –x 3 +x 4 =2 -2y 1 +x 2 +x 3 =3 y 1 >=0 , x 2 >=0 , x 3 >=0 ; x 4 >=0 (biến phụ) Quan hệ giữa (P) và (P*): -(P*) không có patư thì (P) không có patư -(P*) có patư là (y 1 *, x 2 *, x 3 *, x 4 *) thì (-y 1 *, x 2 *, x 3 *) là patư của (P). f max = f(-y 1 *, x 2 *, x 3 *) Vậy ta có kết quả sau: -(P) có pa ⇔ (P*) có pa -(P) có patư ⇔ (P*) có patư PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QHTT: đọc thêm –không thi Với bài toán QHTT 2 biến bất kỳ người ta có thể dùng phương pháp hình học để giải, với các tương ứng sau: -Miền ràng buộc D là một tập lồi đa diện (giới nội hoặc không giới nội) trong hệ trục tọa độ vuông góc Đề các, nếu D giới nội thì ta gọi là 1 đa giác lồi. D có đỉnh hoặc không có đỉnh. D cũng có thể là tập rỗng (nếu các ràng buộc không tương thích nhau). D có hữu hạn đỉnh. -Giá trò của hàm mục tiêu f(x) gọi là đường mức. Ta cho đường mức di chuyển trong D thì f(x) có thể giới nội (bò chặn) trong D hoặc không. Bài toán minf: Nếu f(x) giới nội dưới trong D thì ta tìm được patư, nếu f(x) không giới nội dưới thì bài toán không có patư. Bài toán maxf: Nếu f(x) giới nội trên trong D thì ta tìm được patư, nếu f(x) không giới nội trên thì bài toán không có patư. Ta có 1 số trường hợp sau: -D giới nội: bài toán luôn có patư là 1 đỉnh của D (gọi là pa cực biên tối ưu). Nếu bài toán có patư đạt được tại 2 đỉnh trở lên thì bài toán có vô số patư. 5 www37.websamba.com/phamtricao ThS. Phạm Trí Cao * 2005 www.phamtricao.web1000.com -D không giới nội nhưng có đỉnh: bài toán có patư hoặc không. Nếu có patư thì patư cũng đạt được trên đỉnh. -D không giới nội và không có đỉnh: bài toán có patư hoặc không. Nếu có patư thì patư không đạt được trên đỉnh. Nếu bài toán QHTT có dạng chính tắc thì luôn có pa là 1 đỉnh của D (gọi là pa cực biên). Các kết quả sử dụng để giải BT theo pp hình học: • Đường thẳng ax+by=c chia mặt phẳng Oxy thành 2 miền: miền có ax+by>c và miền có ax+by<c • Đường thẳng (D) ax+by=c gọi là đường đẳng mức, có pháp véc tơ là =(a,b). n r * Nếu di chuyển (D) theo cùng chiều n r thì giá trò c tăng lên. * Nếu di chuyển (D) theo ngược chiều n r thì giá trò c giảm xuống. Ví dụ 1: f(x)=x 1 +x 2 −−> max −x 1 +2x 2 <=2 3x 1 − x 2 <=3 x 1 >=0, x 2 >=0 1) cmr x=(0,0), x=(1,0), x=(0,1), x=(8/5, 9/5) là các pacbksb? 2) Cmr f max =17/5 Ví dụ 2: f(x)= −2x 1 +x 2 −−> min x 1 − x 2 >=−2 −x 1 +2x 2 >=−2 x 1 >=0, x 2 >=0 1) cmr x=(0,0), x=(2,0), x=(0,2) là các pacbksb? 2) Cmr f−−> −∞ Ý tưởng của pp hình học là từ 1 đỉnh ban đầu của D ta đi đến các đỉnh “kề” có giá trò hàm mục tiêu tốt hơn cho đến khi được 1 đỉnh tối ưu hoặc hàm mục tiêu không bò chặn. Nếu có đỉnh tối ưu thì có patư, nếu hàm mục tiêu không bò chặn dưới (trên) thì bài toán minf (maxf) không có patư. Vì số đỉnh của D là hữu hạn nên sau 1 số bước đi thì ta kết thúc. Dựa vào những ý tưởng từ pp hình học người ta đưa ra phương pháp đơn hình để giải bài toán HTT. Q II) PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH: 1) Các khái niệm và đònh nghóa: f(x) = <c,x> Ỉ min (max) (1) Ax = b (2) x >= 0 (3) Ký hiệu: A j , j=1,n là các véc tơ cột của ma trận A Ta có: Ax = b ⇔ x 1 A 1 +x 2 A 2 + +x n A n = b • x = (x 1 ,x 2 , .,x j , ,x n ) là pa của BT (1)-(3). Đặt J(x) ={j / x j > 0} x là phương án cực biên (pacb) ⇔ hệ véc tơ cột tương ứng với các thành phần dương của x độc lập tuyến tính Nghóa là: x=(x 1 ,x 2 , .,x j , ,x n ) là pacb ⇔ {A j / j∈ J(x)} độc lập tt • x là pacb. Ta có: |J(x)| <= r(A) * Nếu |J(x)| = r(A) thì ta nói x là pacb không suy biến * Nếu |J(x)| < r(A) thì ta nói x là pacb suy biến 6 . 1 2 -4 -5 6 x' 5 = 4-5 (1)/2=3/2 x' 6 = 2-5 (-4 )/2=12 f' = -5 -5 (6)/2= -2 0 (2) -1 (2) -1 (2) -1 1 -2 -4 1 6 -1 z' 52 = -2 -1 (-1 )/2= =-3 /2. 1 -1 1 -5 18 2 0 0 A6 0 0 0 (4) 2 -8 -1 1 0 A7 0 1 0 11 5 -1 8 -2 0 1 B2 0 0 (53) 41 -2 04 -2 0 0 0 A1 -1 0 0 1 0 (0,5) -4 -0 ,75 2,75 0 A2 57 0 0 1 0,5 -2 -0 ,25

— Xem thêm —

Xem thêm: Bài giảng Toán tối ưu hóa - bài toán vận tải - Đại Học Ngân Hàng Thành Phố Hồ Chí Minh, Bài giảng Toán tối ưu hóa - bài toán vận tải - Đại Học Ngân Hàng Thành Phố Hồ Chí Minh

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.0832188129425 s. Memory usage = 13.95 MB