Các hướng tư DUY để giải toán hình học tọa độ KHông gian OXYZ

kynanglamtoan
kynanglamtoan(186 tài liệu)
(31 người theo dõi)
Lượt xem 908
23
Tải xuống 3,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 23 | Loại file: PDF
1

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 13/01/2014, 17:16

Mô tả: Một quyển sách khác của tác giả Thanh Tùng sau quyển sách về hình giải tích phẳng GIẢI ðÁP TOÁN CẤP 3 – THI ðẠI HỌC THUẬT TOÁN TÌM ðIỂM CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXYZ Biên soạn: Thanh Tùng *) Tóm tắt lý thuyết ñầy ñủ theo một trình tự logic và có hệ thống. *) ðưa ra các hướng tư duy và phương pháp giải khái quát cho từng lớp bài toán. *) Có bài toán mẫu minh họa ñi kèm. *) Phần bài tập áp dụng có gợi ý. *) Lời giải chi tiết cho từng bài toán cụ thể (tham khảo thêm trên http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ). BÀI TOÁN CỰC TRỊ (tham khảo thêm) H À N Ộ I 2 / 2 0 1 3 2 CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXYZ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN II. CÁC CÔNG THỨC VỀ ðỊNH LƯỢNG 3 III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ðƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ðỐI GIỮA MẶT PHẲNG, ðƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU. 4 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM CÁC BÀI TOÁN MẪU Trước khi làm các bài tập trong Chuyên ðề này thầy có một vài quy ước sau (ñể các em tiện theo dõi) : +)( )M t∈∆: ta ràng buộc tọa ñộ ñiểm M theo một ẩn là t. +) ( )a tr: ta ràng buộc tọa ñộ véc tơ ar theo một ẩn là t. +) 1 2( , )M t t: ñiểm M có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn 1tvà 2t. +) ar1 2( , )t t : véc tơ ar có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn 1tvà 2t. 1) (D – 2012: NC) Cho ñường thẳng 1 1:2 1 1x y zd− += =− và hai ñiểm (1; 1;2)A−, (2; 1;0)B−. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M . Hướng giải: +) Gọi ( )M t d∈ ( )( )MA tMB t→uuuruuur +) Khai thác dữ kiện bài toán ( tam giác AMB vuông tại M) : . 0 ( ) 0 ?MAMB f t t M= ⇔ = ⇔ = ⇒uuur uuur Giải: +) Gọi ( 2 ; ;2 )(1 2 ; 1 ; )(1 2 ; ; )MA t t tM t t t dMB t t t= − −+ − − ∈ ⇒= − −uuuruuur +) Tam giác AMB vuông tại M nên : MA MB⊥uuur uuur 2 202 (1 2 ) (2 ) 0 6 4 023tt t t t t t tt=⇔ − − + − − = ⇔ − = ⇔ ⇒=(1; 1;0)7 5 2; ;3 3 3MM− −   5 2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñiểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. Hướng giải: +) Gọi ( ; ; ) ( ) 2 4 0M x y z P x y z∈ ⇒ − − + = (1) +) Khai thác dữ kiện bài toán (MA = MB = 3) :3 ( , , ) 0 (2)3 ( , , ) 0 (3)MA f x y zMB g x y z= = ⇒ = =  +) Từ (1); (2) và (3) , , ?x y z M⇒ = ⇒ Giải: +) Gọi ( ; ; ) ( ) 2 4 0M x y z P x y z∈ ⇒ − − + = (1) +) Ta có: MA = MB = 3 2 2 2 22 2 22 2 2 22 0 (2)9 ( 2) ( 1) 9( 2) ( 3) 9 (3)9 ( 2) ( 3) 9x y zMA x y zx y zMB x y z+ − + = = − + + − = ⇒ ⇒ ⇔  + + + − == + + + − =   +) Từ (1) và (2) 2 23x yz y= −⇒= (*) . Thay (*) vào (3) ta ñược: 2 2 2(2 2) ( 2) (3 3) 9y y y− + + + − = 217 11 4 047yy yy=⇔ − + = ⇔ ⇒=(0;1;3)6 4 12; ;7 7 7MM −   BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) (D – 2012: NC) Cho ñường thẳng 1 1:2 1 1x y zd− += =− và hai ñiểm (1; 1;2)A−, (2; 1;0)B−. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. (ñã giải) 2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñiểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. (ñã giải) 3) (B – 2011: CB) Cho ñường thẳng ∆:2 11 2 1x y z− += =− − và mp (P) : x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao của ∆ và (P). Tìm ñiểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4 14 4) ( B – 2011: NC) Cho ñường thẳng 2 1 5:1 3 2x y z+ − +∆ = =− và hai ñiểm A(- 2; 1; 1), B(-3; - 1; 2). Tìm ñiểm M thuộc ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 5) (A – 2010: CB) Cho ñường thẳng 1 2:2 1 1x y z− +∆ = =− và mp (P): x – 2y + z = 0. Gọi C là giao của ∆ với (P), M là ñiểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M ñến (P), biết MC =6 6) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với , 0b c> và mp (P): y – z + 1 = 0. Tìm b và c, biết mp (ABC) vuông góc với mp (P) và kcách từ O ñến mp (ABC) bằng 13 7) (B –2010: NC) Cho ñường thẳng 1:2 1 2x y z−∆ = =. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M ñến ∆ bằng OM 6 8) (D – 2010:NC) Cho hai ñường thẳng 13:x ty tz t= +∆ == và 22 1:2 1 2x y z− −∆ = =. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc 1∆ sao cho khoảng cách từ M tới 2∆bằng 1 9) (A – 2009 - NC) Cho mp (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai ñường thẳng 11 9:1 1 6x y z+ +∆ = = , 21 1 1:2 3 2x y z− − +∆ = =−. Xác ñịnh tọa ñộ ñiêm M thuộc ñường thẳng 1∆sao cho khoảng cách từ M ñến ñường thẳng 2∆ và khoảng cách từ M ñến mp (P) bằng nhau 10) (D – 2009: CB) Cho A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mp (P): x + y + z – 20 = 0. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm D thuộc ñường thẳng AB sao cho ñường thẳng CD song song với mp (P) 11) (A – 2008) Cho ñiểm A(2; 5; 3) và ñường thẳng d: 1 22 1 2x y z− −= = . Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của ñiểm A trên ñường thẳng d. 12) (B – 2008): Cho 3 ñiểm A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1). Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. 13) (D – 2008) Cho bốn ñiểm A(3 ; 3 ; 0), B(3 ; 0 ; 3), C(0 ; 3 ; 3), D(3 ; 3 ; 3). Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 14) (B – 2007) Cho mặt cầu (S) :2 2 22 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − = và mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M ñến mp (P) lớn nhất. 15) (D – 2007) Cho hai ñiểm A(1; 4; 2),B(-1; 2; 4) và ñường thẳng : 1 2:1 1 2x y z− +∆ = =− . Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ∆ sao cho 2 2MA MB+ nhỏ nhất 16) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng : 11 1:2 1 1x y zd− += =−,21: 1 22x td y tz t= += − −= + Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc1d, N thuộc 2dsao cho 3 ñiểm A, M, N thẳng hàng. 17) (D – 2006) : Cho ñiểm A(1; 2; 3) và ñường thẳng : 2 2 3:2 1 1x y zd− + −= =− Tìm tọa ñộ ñiểm A’ ñối xứng với ñiểm A qua ñường thẳng d 18) (A – 2005) Cho ñường thẳng 1 3 3:1 2 1x y zd− + −= =−và mp (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I ñến mặt phẳng (P) bằng 2. 19) (D – 2005) Cho hai ñường thẳng : 11 2 1:3 1 2x y zd− + += =− ;2:d 342 2x ty tz t== −= +và mp Oxz cắt 1 2,d d lần lượt tại các ñiểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc tọa ñộ ). 20) ( A – 2002) Cho ñường thẳng 1: 21 2x ty tz t= +∆ = += + Cho ñiểm M(2;1;4). Tìm tọa ñộ ñiểm H thuộc ∆ sao cho ñoạn thẳng MH có ñộ dài nhỏ nhất 7 21) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt cầu (S) :2 2 22 2 2 0x y z x z+ + − + − = sao cho khoảng cách từ M ñến mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 6 = 0 là lớn nhất, nhỏ nhất. 22) Cho hai ñường thẳng : 1:1 1 2x y zd= = 21 2:1x td y tz t= − −== + Xác ñinh tọa ñộ ñiểm M,N lần lượt thuộc 1d và 2d sao cho ñường thăng MN song song với mặt phẳng (P) : x – y + z = 0 và ñộ dài ñoạn MN bằng 2. 23) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2; -3; 1) trên mặt phẳng (P) : x + 3y – z + 2=0. 24) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2 ; -1; 1) trên ñường thẳng d : 1 212x ty tz t= += − −= 25) Tìm hình chiếu của d: 2 61 1 4x y z− += =− trên mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z + 1 = 0 II. BÀI TOÁN 2: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH BÀI TOÁN 2.1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 8 CÁC BÀI TOÁN MẪU 1) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng : 11 1:2 1 1x y zd− += =− , 21: 1 22x td y tz t= += − −= + Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ñồng thời song song với 1 2,d d. Phân tích: +) Bài toán cho ñi qua ñiểm A(0; 1; 2) (biết một yếu tố - vẫn còn thiếu véc tơ pháp tuyến của (P)) +) Khai thác dữ kiện: “(P) ñồng thời song song với 1 2,d d” ⇒ 1 2,u uur uur là cặp vtcp của (P) ⇒( ) 1 2,Pn u u = uuur ur uur Như vậy theo Hướng tư duy ở TH1 ta sẽ có lời giải như sau: Giải: Từ phương trình của ñường thẳng 1 2,d d ta có : 1(2;1; 1)u= −ur và 2(1; 2;1)u = −uur mà (P) ñồng thời song song với 1 2,d d ( ) 1 2, (1;3;5)Pn u u ⇒ = = uuur ur uur Vậy phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A(0; 1; 2) và có ( )(1;3;5)Pn =uuur là: ( 0) 3( 1) 5( 2) 0x y z− + − + − = hay 3 5 13 0x y z+ + − = Kiểm tra kết quả: (vì chúng ta khai thác bài toán chưa triệt ñể : 1 2;d d có thể nằm trên (P) – 1 2,u uur uur là cặp vtcp của (P) mới cho ta ñiều kiện cần nhưng chưa ñủ nên ta phải có bước kiểm tra lại kết quả) Chọn 1 1(0;1; 1)M d− ∈ và 2 2(1; 1;2)M d− ∈ . Ta có: 1 2( ); ( )M P M P∉ ∉12/ /( )/ /( )d Pd P⇒ (thỏa mãn) Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 3 5 13 0x y z+ + − = 2) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2. Phân tích: +) Như vậy với dữ kiện của ñề bài ta không khai thác ñược yếu tố ñiểm. Thế còn véc tơ pháp tuyến ? +) Dữ kiện: “mp (R) vuông góc với (P) và (Q)” ⇒ ( ) ( ),P Qn nuuur uuur là cặp vtcp của (R) ⇒( ) ( ) ( ), ( ; ; )R P Qn n n a b c = = uuur uuur uuur ⇒ mp (R): 0ax by cz m+ + + = +) Cắt nghĩa dữ kiện: O ñến (R) bằng 2 ( ) 0 ?f m m⇒ = ⇔ = ⇒ mp (R) Với những phân tích trên ta sẽ ñi theo Hướng tư duy ở TH2 . Và ta có lời giải cụ thể sau: Giải: Từ phương trình của mặt phẳng (P) và (Q) ta có : ( )(1;1;1)Pn =uuur và ( )(1; 1;1)Qn = −uuur mà mp (R) vuông góc với (P) và (Q)” ( ) ( ) ( ), (2;0; 2) 2.(1;0; 1)R P Qn n n ⇒ = = − = − uuur uuur uuur Vậy phương trình (R) có dạng: 0x z m− + = Ta có: ( ;( )) 2d O R= 2 22 2 2 2 21 1mm m⇔ = ⇔ = ⇔ = ±+ Vậy phương trình của (R): 2 2 0x z− + = hoặc 2 2 0x z− − = 9 3) (B – 2009:CB) Cho tứ diện A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3), C(2 ; - 1 ; 1) và D(0 ; 3 ; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B sao cho khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P). Phân tích: +) Như vậy với dữ kiện của ñề bài (nếu không khai thác ñược số liệu ñặc biệt của bài toán ) ta không tìm ñược yếu tố véc tơ pháp tuyến. Vì vậy gọi (P) có dạng: 0ax by cz d+ + + = +) Khai thác : “(P) ñi qua A, B và khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P)” ⇒, , , ?a b c d= Với phân tích trên ta sẽ ñi theo Hướng tư duy ở TH3 . Và ta có lời giải cụ thể sau: Giải: Gọi mp (P) có dạng: 0ax by cz d+ + + = . Vì (P) ñi qua A(1 ; 2 ; 1), B(-2 ; 1 ; 3) 2 02 3 0a b c da b c d+ + + =⇒− + + + = 325 52a bca bd+=⇔− −= nên (P): 3 5 50 2 2 (3 ) (5 5 ) 02 2a b a bax by z ax by a b z a b+ ++ + − = ⇔ + + + − + = (P) Mà: 2 2 2 2 2 222 6 2 2( ;( )) ( ;( )) 304 4 (3 ) 4 4 (3 )a ba b b ad C P d D P a b b aba b a b a b a b=− −= ⇔ = ⇔ − = − ⇔=+ + + + + + +) Với 2a b= chọn 4; 2 7a b c= = ⇒ = và 15d= −⇒ mp (P): 4 2 7 15 0x y z+ + − = +) Với 0b= chọn 2 3a c= ⇒ = và 5d= −⇒ mp (P): 2 3 5 0x z+ − = Chú ý: Với số liệu ñặc biệt của bài toán trên các em có thể có cách giải khác là: “khoảng cách từ C ñến (P) bằng khoảng cách từ D ñến (P)” ⇔(P) song song với CD hoặc (P) ñi qua trung ñiểm của CD. Và quay về Hướng tư duy ở TH1 (ñây cũng là cách giải của Bộ Giáo Dục – cách giải này là hay nhất với số liệu trên). Nhưng nếu khoảng cách không bằng nhau ? thì cách này lại không làm ñược. Hướng tư duy ở TH3 lúc này vẫn phát huy tác dụng. 4) (B – 2012: NC) Cho (0;0;3), (1;2;0)A M. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc ñường thẳng AM. Phân tích: Với dữ kiện (P) ñi qua(0;0;3)Avà cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C cho ta hướng tư duy của TH4 Nên theo Hướng tư duy của TH4 ta có lời giải như sau: Giải: Vì (P) ñi qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C nên ( ;0;0)B b và (0; ;0)C c ⇒phương trình (P): 13x y zb c+ + = Ta có: (1;2; 3)AM= −uuuur⇒phương trình :AM23 3x ty tz t=== − Gọi ( ;2 ;3 3 )G t t t AM− ∈(1) ( thuật toán tìm ñiểm) Mặt khác: G là trọng tâm tam giác ABC; ;13 3b cG ⇒   (2) Từ (1) và (2) 2332 2341 3 3bttct bct==⇒ = ⇔ =  == −  ⇒ phương trình (P): 12 4 3x y z+ + = ⇔6 3 4 12 0x y z+ + − = 10 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH1) 1) (B – 2008) Cho 3 ñiểm A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1).Viết phương trình mặt phẳng ñi qua ba ñiểm A, B, C. 2) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng : 11 1:2 1 1x y zd− += =− , 21: 1 22x td y tz t= += − −= + Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ñồng thời song song với 1 2,d d. (ñã giải) 3) (B – 2005) Cho lăng trụ ñứng 1 1 1.ABC AB C với A(0 ; - 3 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(0 ; 3 ; 0), 1B(4; 0 ; 4). Gọi M là trung ñiểm của1 1A B. Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua hai ñiểm A, M và song song với 1BC. Mặt phẳng (P) cắt ñường thẳng 1 1AC tại ñiểm N. Tính ñộ dài ñoạn MN. 4) ( D – 2005) Cho hai ñường thẳng 11 2 1:3 1 2x y zd− + += =− và 23: 42 2x td y tz t== −= + Chứng minh 1d và 2d song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai ñường thẳng 1d và 2d. 5) (A – 2002) Cho hai ñường thẳng 12 1 4:2 3 4x y z− − −∆ = = và 21: 21 2x ty tz t= +∆ = += + Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ñường thẳng 1∆và song song với ñường thẳng 2∆. 6) Cho ñiểm M(1; -1; 1) và hai mặt phẳng (P): 3x + y – 2 z – 2011 = 0, (Q): x – 3y + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( )α ñi qua M và ñồng thời vuông góc với (P) và (Q). 7) Cho ñiểm M(0 ; – 2; -1), ñường thẳng d: 1 12 2 1x y z− += =− và mặt phẳng (P): x – y – 2z + 2012 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( )α ñi qua M song song với d và vuông góc với (P). Bài 2. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH2) 1) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2. (ñã giải) 2) (TN – 2005) Trong không gian cho mặt cầu (S): 2 2 22 2 4 3 0x y z x y z+ + − + + − =và hai ñường thẳng 11:1 1 1x y z−∆ = =− ,21:2 1 1x y z−∆ = =−. Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) và song song với 1∆,2∆. 3) (TN – 2003) Trong không gian cho bốn ñiểm A(2; 4; -1), C(2; 4; 3),4OB i j k= + −uuur r r r và 2 2OD i j k= + −uuur r r r. Gọi (S) là mặt cầu qua bốn ñiểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện của (S) và song song với (ABD). 4) Trong không gian cho mặt cầu (S): 2 2 22 4 2 10 0x y z x y z+ + − + + − =và hai ñiểm A(-1; 2; 1), B(2; 3; -1). Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB và tiếp xúc với mặt cầu (S). Bài 3. (Gợi ý: ði theo Hướng tư duy ở TH3) 1) (A – 2011:NC) Cho mặt cầu 2 2 2( ): 4 4 4 0S x y z x y z+ + − − − = và ñiểm A(4 ; 4 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết ñiểm B thuộc (S) và tam giác OAB ñều. . THAM KHẢO: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Ý tư ng cho các bài toán tìm GTLN ,GTNN nói chung cũng như các bài toán GTLN. 2 / 2 0 1 3 2 CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXYZ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN II. CÁC CÔNG THỨC VỀ ðỊNH

— Xem thêm —

Xem thêm: Các hướng tư DUY để giải toán hình học tọa độ KHông gian OXYZ, Các hướng tư DUY để giải toán hình học tọa độ KHông gian OXYZ, Các hướng tư DUY để giải toán hình học tọa độ KHông gian OXYZ

Lên đầu trang

Tài liệu liên quan

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.364226102829 s. Memory usage = 13.96 MB