Chuyên đề elip luyện thi đại học

Huu Tuan
Huu Tuan(92 tài liệu)
(0 người theo dõi)
Lượt xem 2753
6
Tải xuống 5,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 33 | Loại file: PDF
1

Gửi bình luận

Bình luận

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/01/2014, 20:54

Mô tả: Chuyên đề elip luyện thi đại học Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forumTUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIPLUYỆN THI ĐẠI HỌCLê Minh AnTrường Đại học sư phạm Thái NguyênThành viên VMF - http://www.diendantoanhoc.net/forum14 − 07 − 2013Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forumLỜI NÓI ĐẦUCác bài tập về Elip thường hay xuất hiện trong các đề thi Đại học, cao đẳng. Vì vậy tài liệu nàynhằm mục đích giúp việc tự ôn tập của học sinh và việc giảng dạy của các thầy cô giáo thêm hiệu quả.Tài liệu bao gồm 3 phần chính:Phần 1: Tóm tắt lý thuyếtPhần 2: Một số lưu ý khi giải toánPhần 3: Tuyển tập các bài toán, lời giải hoặc hướng dẫnPhần 1 và 2 là một phần chuyên đề mà tác giả đã viết trước đó có bổ sung thêm một mục nhỏ vềbài toán cực trị trong Elip. Phần 3 cũng là nội dung chính của tài liệu, là tuyển tập các bài toán vềElip với các dạng bài thường xuất hiện trong kì thi Đại học, cao đẳng. Các bài tập được tác giả sưu tậptừ các đề thi thử Đại học 2013 và trên các diễn đàn toán học như Diendantoanhoc.net/forum - VMF,Boxmath.vn, K2pi.net.Do thời gian có hạn nên mặc dù đã cố gắng nhưng số lượng bài tập tác giả sưu tập được chưa nhiều(khoảng 40 bài) và chắc chắn vẫn còn những sai sót. Vì vậy, trong quá trình sử dụng tài liệu, rất mongcác bạn và các thầy cô có những ý kiến đóng góp hoặc gửi thêm các bài tập hay để tài liệu này hoànthiện hơn trong một phiên bản khác.Email: alm.maths@gmail.comDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forumMục lục1 Tóm tắt lý thuyết 51.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Phương trình chính tắc của Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Hình dạng và tính chất của Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Một số lưu ý khi giải toán 62.1 Viết phương trình chính tắc của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Tìm điểm thuộc elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tuyển tập các đề toán 103.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Các bài tập sưu tầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Lời giải hoặc hướng dẫn 154.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Các bài tập sưu tầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Phụ Lục 305.1 Các bài toán Elip đã thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Một topic thảo luận trên VMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forumDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT1 Tóm tắt lý thuyết1.1 Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1,F2với F1F2= 2c và một độ dài không đổi 2a(a > c). Elip là tập hợpnhững điểm M sao cho:F1M +F2M = 2aTa gọi: F1,F2: Tiêu điểm, F1F2= 2c: Tiêu cự, F1M,F2M: Bán kính qua tiêu.F1F2A1A2B1B2OM1.2 Phương trình chính tắc của ElipTrong mặt phẳng tọa độ Oxy với F1(−c; 0),F2(c; 0):M(x; y) ∈ (E) ⇔x2a2+y2b2= 1 (1).Trong đó: b2= a2−c2(1) được gọi là phương trình chính tắc của (E)1.3 Hình dạng và tính chất của ElipElip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(−c; 0), tiêu điểm phải F2(c; 0)+ Các đỉnh: A1(−a; 0),A2(a; 0),B1(0; −b),B2(0; b)+ Trục lớn: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox; Trục nhỏ: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy+ Hình chữ nhật cơ sở: Là hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ±a, y = ±bTừ đó ta thấy hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là 2a và chiều rộng là 2b+ Tâm sai: e =ca< 1+ Bán kính qua tiêu của điểm M (xM,yM) ∈ (E) là:MF1= a + exM= a +cxMa, MF2= a −exM= a −axMc+ Đường chuẩn của Elip:Đường thẳng ∆1: x+ae= 0 được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F1(−c; 0)Đường thẳng ∆2: x−ae= 0 được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F2(c; 0)Email: alm.maths@gmail.com 5 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN2 Một số lưu ý khi giải toán2.1 Viết phương trình chính tắc của elipCác bước thực hiện:Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của elip là:x2a2+y2b2= 1 (a > b > 0) (E)Bước 2: Sử dụng các dữ kiện bài toán thiết lập các phương trình tìm a, b (hoặc tìm trực tiếp a2,b2)Chú ý các kiến thức liên quan đến a,b, chẳng hạn: tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai, b2= a2−c2 Ví dụ: (B-2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròntiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2+y2= 4. Viết phương trình chính tắc của elip(E) đi qua các đỉnh A,B,C,D của hình thoi. Biết điểm A nằm trên trục OxNhận định:- Các đặc điểm của hình thoi:Đường tròn nội tiếp có phương trình: x2+ y2= 4. (Tâm O(0; 0), bán kính R = 2)Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của hình thoi −→ Gốc tọa độ O là tâm của hình thoi. O = AC ∩BDA ∈Ox −→C ∈Ox, BD⊥AC −→ B, D ∈Oy- A,B,C,D ∈ (E) −→ A,C = (E)∩Ox; B,D = (E) ∩Oy −→ A,B,C,D là các đỉnh của (E)!- Như vậy ta xác định được mối liên hệ giữa đỉnh của (E) và hình thoi. Với hai điều kiện AC = 2BDvà đường tròn nội tiếp hình thoi có bán kính R = 2 ta lập được hai phương trình giải quyết bài toán.CADBOHLời giải:Giả sử phương trình của elip (E) là:x2a2+y2b2= 1(a > b > 0)Ta có: Đường tròn (C): x2+ y2= 4 là đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD, có tâm O(0; 0), bán kínhR = 2Vì tâm của (C) là tâm của hình thoi nên AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗiđườngMà A ∈ Ox ⇒C ∈Ox và B,D ∈OyLại có: A,B,C,D ∈ (E) ⇒A,B,C, D là bốn đỉnh của (E)Nếu đổi chỗ A và C cho nhau hoặc B và D cho nhau thì Elip không thay đổi nên ta có thể giả sử A,Blần lượt nằm ở nửa trục dương của Ox và Oy, khi đó tọa độ của chúng là A(a; 0),B(0;b)Email: alm.maths@gmail.com 6 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum2.2 Tìm điểm thuộc elip 2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN⇒ OA = a,OB = b. Vì AC = 2BD nên OA = 2OB ⇒a = 2bKẻ OH vuông góc với AB tại H ⇒OH = R = 2Vì tam giác ABO vuông tại O⇒1OH2=1OA2+1OB2⇔14=1a2+4a2⇔ a2= 20 ⇒b2= 5Vậy phương trình (E) là:x220+y25= 12.2 Tìm điểm thuộc elipCác bước thực hiện:Bước 1: Xác định "từ khóa" liên quan đến điểm cần tìm, cố gắng chuyển chúng thành công thứctương ứng.Bước 2: Từ giả thiết, thiết lập phương trình tìm tọa độ của điểm. Chú ý rằng ta luôn có một phươngtrình do điểm cần tìm thuộc (E).Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) :x29+y21= 1. Tìm trên (E) những điểm t/m:1. Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu điểm kia?2. Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.Lời giải:(E) :x29+y21= 1 ⇒a = 3,b = 1 ⇒ c =a2−b2= 2√21. Từ khóa cần quan tâm "bán kính qua tiêu"Gọi M(xo,yo) là điểm phải tìm. Khi đó bán kính qua tiêu của M là:MF1= a + exo= a +cxoa, MF2= a −exo= a −cxoaTừ giả thiết suy ra:MF1= 3MF2MF2= 3MF1⇔MF1−3MF2= 0MF2−3MF1= 0⇔ (MF1−3MF2)(MF2−3MF1) = 0 (1)Khai triển rút gọn ta được:(1) ⇔ 16MF1.MF2−3 (MF1+ MF2)2= 0 ⇔16 (a + exo)(a −exo) −3(2a)2= 0⇔ x2o=a24e2=a44c2=8132⇔ xo= ±9√28Lại có: M ∈ (E) ⇒y2o= 1 −x2o9=2332⇔ yo= ±√468.Đáp số: M19√28;√468; M29√28; −√468; M3−9√28;√468; M4−9√28; −√468Nhận xét:− Trong giải toán, ta thường chỉ quen với chiều biến đổi AB = 0 ⇒A = 0B = 0nhưng trong nhiềuEmail: alm.maths@gmail.com 7 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum2.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip 2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁNtrường hợp biến đổi theo chiều ngược lại sẽ giúp việc giải bài toán ngắn gọn hơn rất nhiều, mà bàitoán trên là một ví dụ.− Ở bài toán này, việc biến đổi rút gọn cũng là một công việc khá vất vả nếu không có những nhậnxét tinh tế, cần chú ý rằng MF1+ MF2= 2a− Khi kết luận cần chú ý lấy đủ nghiệm, nhiều bạn thường nhầm lẫn chỉ lấy hai nghiệm M1,M4.2. Từ khóa "góc vuông"F1F2MOVới gócF1MF2= 90othì ta có các "công thức" tương đương:1. MF21+ MF22= F1F22; 2. MO =F1F22= OF2; 3.−−→MF1.−−→MF2= 0Với từng "công thức" ta sẽ được các hướng làm khác nhau tương ứng, dưới đây tôi trình bày hai cáchcó thể nói là khá ngắn gọn.Gọi M(xo; yo) là điểm cần tìm. M ∈(E) nênx2o9+ y2o= 1 (1)Cách 1:Chú ý rằng MF1,MF2là bán kính qua tiêu, nên ta có:F1MF2= 90o⇔ MF21+ MF22= F1F22⇔ (a + exo)2+ (a −exo)2= 32 ⇔x2o=(16 −a2)a2c2=638Từ (1) suy ra: y2o=18.Cách 2:Điểm M nhìn F1,F2dưới một góc vuông nên ∆MF1F2vuông tại M.Mà dễ thấy O là trung điểm của F1F2nên OM =F1F22⇔ x2o+ y2o= 8 (2)Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:(I)x2o9+ y2o= 1x2o+ y2o= 8⇔x2o=638y2o=18⇔xo= ±3√144yo= ±√24Nhận xét: Ở cách 2 có thể giải thích theo cách khác như sau:Do M nhìn F1,F2dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn (C) nhận F1F2làm đường kính.Tức là (C) có tâm O bán kínhF1F22= 2√2⇒ M là giao điểm của (E) và (C) : x2+ y2= 8. Do đó tọa độ M là nghiệm hệ (I).Đáp số: M13√144;√24; M23√144; −√24; M3−3√144;√24; M4−3√144; −√242.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip∀M(xM,yM) ∈ (E) :x2a2+y2b2= 1Email: alm.maths@gmail.com 8 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum2.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip 2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁNTa có:1. xM∈ [−a; a] và yM∈ [−b; b]2. Dox2Ma2+y2Mb2= 1, nên nếu đặtxMa= sin α ⇔ xM= a sin α, thìyMb= cos α ⇔ yM= b cos α⇒ ∀M ∈(E) tọa độ M có thể viết thành M(a sin α ;bcosα) (α ∈−π2;π2)3. Thường sử dụng các BĐT quen thuộc:(mn + pq)2≤ (m2+ p2)(n2+ q2)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi mq = np.mn ≤12(m2+ n2)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = n.Ví dụ: (Thi Thử tạp chí THTT 05 - 2013)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(5;3). Xác định điểm M trên đường elip(E) :x28+y22= 1 sao cho diện tích tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.Lời giải:Cách 1: Ta có AB =√5 và AB : x + 2y −11 = 0.Vì M ∈(E) nên ta có thể gọi M(2√2 sin α;√2 cos α) với α ∈−π2;π2. Khi đód(M,AB) =2√2(sin α + cos α) −11√5=11 −4 sinα +π4√5≥7√5Suy ra(d(M,AB))min=7√5⇐⇒ sinα +π4= 1 ⇐⇒ α =π4.Do đó,min S∆AMB=12(d(M,AB))min·AB = 7 ⇐⇒ M(2; 1).Cách 2: Ta có AB =√5 và AB : x + 2y −11 = 0. Gọi M(a;b) ∈ (E). Khi đóa28+b22= 1(∗)Từ (∗) suy ra |a| ≤2√2, |b| ≤√2 ⇒a + 2b < 11d(M,AB) =|a + 2b −11|√5=11 −(a + 2b)√5Sử dụng Cauchy −Schwarz ta có(a + 2b)2≤ (8 + 8)a28+b22= 16 ⇒−4 ≤a + 2b ≤ 4Suy ra d(M,AB) ≥7√5Do đó,min S∆AMB=12(d(M,AB))min·AB = 7 ⇐⇒ M(2; 1).[k2pi.net]Email: alm.maths@gmail.com 9 Lê Minh An - ĐHSP Thái NguyênDiễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN3 Tuyển tập các đề toánPhần đề toán được tách riêng giúp các bạn học sinh thuận tiện trong quá trình tự luyện tập. Trướckhi đọc lời giải các bạn nên tự mình tìm cách giải quyết bài toán đó, như thế tư duy sẽ không bị bóbuộc. Biết đâu các bạn sẽ có lời giải độc đáo hơn đáp án, lúc ấy hãy chia sẻ với mình để hoàn thiệnhơn tuyển tập này nhé!3.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 20131. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC đều có A(0; 2) và có trục đối xứng Oy,SABC=49√312. Viết phương trình chính tắc của elip (E) qua 3 điểm A,B,C(Sở GDĐT Bắc Ninh)2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(2√3; 2). Viết phương trình chính tắc của elip(E) đi qua M, biết M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.(Chuyên ĐH Vinh 03)3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2= 16. Viết phương trình chínhtắc của elip (E) biết tâm sai của (E) là e =12, (E) cắt (C) tại bốn điểm phân biệt A,B,C,D saocho AB song song với trục hoành và AB = 2BC(Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 02)4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) biết khi M thay đổitrên (E) thì độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 và độ dài lớn nhất của MF1bằng 8 với F1là tiêuđiểm có hoành độ âm của (E).(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 01)5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E), biết có một đỉnhvà hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là12(2 +√3).(Chuyên Vĩnh Phúc 05 - Tạp chí THTT 06)6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trìnhx29+y25= 1. Gọi F1,F2là haitiêu điểm của (E). Tìm điểm M ∈ (E) sao cho MF1= 2MF2(THPT Phan Đăng Lưu - Nghệ An)7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x216+y29= 1 và đường thẳng d : 3x+4y−12 =0. Gọi các giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là A,B. Tìm trên (E) điểm C sao cho tamgiác ABC có diện tích bằng 6.(THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa)Email: alm.maths@gmail.com 10 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên

— Xem thêm —

Xem thêm: Chuyên đề elip luyện thi đại học, Chuyên đề elip luyện thi đại học, Chuyên đề elip luyện thi đại học

Lên đầu trang

Mục lục

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.14405298233032 s. Memory usage = 14 MB